2. Основы финансовой арифметики

2.1. Простой процент

Простой процент

Сумму денег, положенную в банк под процент, будем называть первоначальным капиталом. Простой процент вычисляется исключительно по первоначальному капиталу. Простой процент определяется как произведение капитала, процентной ставки и времени:

, (1)

где P – первоначальный капитал, j – номинальная годовая процентная ставка, t – срок депозита (в годах), I – простой процент (в денежном выражении).

Пример 1. Годовая банковская процентная ставка равна 12 %, первоначальный капитал – 1000 денежных единиц (д.е.), срок депозита – 3 месяца. Требуется определить процент.

Решение. Выразим срок депозита в годах. t = 3 месяца = 3/12 года = года. Итак,t = года,P = 1000 д.е., j = 12 % = 0,12. Следовательно,

Наращенная сумма при простом проценте

Сумма первоначального капитала и наросшего процента называется наращенной суммой. Мы будем обозначать наращенную сумму буквой S. Итак,

. (2)

Для рассмотренного нами примера 1

Наращенную сумму называют также будущей стоимостью первоначального капитала и часто обозначают FV (от первых букв английского термина future value).

Заметим, что

. (3)

Коэффициент , стоящий в правой части соотношения (3), показывает наращенную сумму в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала, и называется коэффициентом наращения. Мы его будем обозначать буквой . Итак, в случае простого процента, коэффициент наращения находится по следующей формуле

. (4)

Для данных из примера 1 , т.е. при годовой процентной ставке 12 % за три месяца наращенная сумма в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала составит 1,03 д.е.

Учитывая, что , формулу (3) можно записать в следующем виде:

. (5)

Для данных из примера (3)

Текущая стоимость при простом проценте

Для нахождения первоначального капитала P, обеспечивающего наращенную сумму S через время t при годовой процентной ставке j воспользуемся формулами (3) и (5). В результате получим:

. (6)

Первоначальный капитал, обеспечивающий наращенную сумму S, называют приведенной (текущей) стоимостью суммы S и часто обозначают PV (от первых букв английского термина present value).

Пример 2. Годовая процентная ставка равна 15 %. Требуется определить текущую стоимость суммы, равной 800 д.е., при сроке депозита, равном 7 месяцам.

Решение. Итак, S = 800, j = 15 % = 0,15, . Следовательно, Таким образом, чтобы получить 800 д.е. через семь месяцев, в настоящий момент нужно положить на счет 735,63 д.е.

Из формулы (6) следует, что коэффициент показывает текущую стоимость одной денежной единицы наращенной суммы, т.е. то количество денег, которое нужно положить на счет в настоящий момент времени для того, чтобы обеспечить одну денежную единицу наращенной суммы. Этот коэффициент называют коэффициентом дисконтирования. В дальнейшем будем обозначать коэффициент дисконтирования буквой . Итак,

. (7)

Для данных из примера 2 , т.е. в расчете на одну денежную единицу наращенной суммы нужно положить на счет в настоящий момент времени 0,91954 д.е.

Из формул (6) и (7) следует, что

. (8)

В условиях примера 2 (что соответствует полученному ранее результату).

Нахождение текущей стоимости суммы, выплачиваемой в будущем, называется дисконтированием.

2. Сложный процент

Понятие сложного процента

В случае, когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова кладется на счет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Такой процент называется сложным.

Пример 3. Пусть, как и в примере 1, годовая банковская процентная ставка равна 12 %, и первоначальный капитал составляет 1000 денежных единиц. Однако, срок депозита равен 2 годам. Требуется определить процент, наросший к концу второго года, считая, что процент капитализируется (т.е. прибавляется к начальному капиталу) один раз в год.

Решение. Итак, j = 12 % = 0,12, P = 1000 д.е., t = 2 года. Найдем вначале процент , нарастающий к концу первого года.Следовательно, наращенная суммав конце первого года составит:. Процент, нарастающий за второй год, будет начисляться с суммы, т.е.Причем,, где 120 д.е. – это процент, нарастающий с первоначального капиталаP = 1000 д.е., а 14,4 д.е. – процент, нарастающий с процента , наросшего за первый год.

Сумма , нарастающая к концу второго года, равнаТаким образом, процент нарастающий за два года, равенд.е.

Несложно заметить, что

. (9)

Следовательно, в условиях примера 3 сумма , нарастающая к концу второго года, может быть также найдена по формуле (9):