- •1.Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
- •2.Умножение матрицы на число
- •3.Умножение матриц
- •2 Матр а и в соглас-е, если число строк матр а равно числу столбцов матр в, и наоборот.
- •4.Опред-ль 1,2,3 порядков.
- •1. Находим опр-ль матр. Если δ ≠0, то матр a-1 сущ-т.
- •2. Составим матрицу a* алгебраических дополнений элементов исходной матрицы а. Т.Е. В матрице a* элементом I - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исх матрицы.
- •3. Транспонируем матрицу a* и получим a*t
- •7.Минор к-го порядка матрицы. Базисный минор матр. Ранг матр и его св-ва. Теорема о ранге матр. Вычисление ранга.
- •8. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.
- •9.Метод Крамера.
- •10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.
- •11. Системы линейных однородных уравнений.
- •12.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.
- •3.Ассоциативный закон относительно умножения чисел
- •4. Дистрибутивный закон относительно сложения векторов ,отн-но сложения чисел
- •8. Базисомn-мерного пространства наз-ся любая совокупность n-лин. Независимых векторов n-мерного пространства.
- •15.Необх и достат условие компланарности в-ов. Скал произв-е в-ов, его св-ва. Критерий перпенд в-ов, угол м/д ними, длина в-ов.
- •16.Собственные векторы и собственные числа матрицы. Св-ва.
- •17.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.
- •18.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.
- •21.Расстояние от точки до прямой
- •22.Окружность
- •22А.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства
- •22Б. Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения
- •23.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти
- •1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)
- •24.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями
- •25.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр
- •26. Предел числовой последовательности (чп).
- •X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
- •27.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
- •1)Степенные:
- •31.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •32. Теоремы о непрерывных функциях
- •1)Первая теорема Вейерштрасса
- •2) Вторая теорема Вейерштрасса
- •3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении
- •1) Все элем-ые ф-ции в области определения непрерывны.
- •3) Сумма, произвед-е и частное двух непр-ых ф-ций есть ф-ция непр-ая (делитель не равен нулю).
- •34.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
- •35. Правила дифферен-я. Таб-ца произв-ых.
- •36.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
- •37. Теорема Ферма. Т-ма Ролля. Их геом смысл.
- •38.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •39) Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я) ф-й.
- •40)Экстрему ф-ии.Необх усл-е экс-ма ф-ии. Достаточное (1е и 2е) усл-я экс-ма. Нахожд-е наимень и наиболь знач-ий ф-ии на отр-ке.
- •41)Выпук-ть ф-ции вверх(вниз).Необх-ое и достат-ое усл-я перегиба ф-ии.
- •42) Асимптоты графика ф-ии (вертик, гориз-е,наклонныые).
- •43)Общ схема исслед-я ф-и и постр-я гр-ка.
- •44)Дифференц-л ф-ии, его геометр смысл. Примен-е дифф-ла в приближ вычисл-ях.
1) Все элем-ые ф-ции в области определения непрерывны.
2) Если f(x) непр-на в т. х0, то limf(x)= f(x0).
3) Сумма, произвед-е и частное двух непр-ых ф-ций есть ф-ция непр-ая (делитель не равен нулю).
4) Пусть ф-ция u=φ(х) непр-на в точке х0, а функция у=ƒ(u) непр-вна в точке u0=φ(хо). Тогда сложная ф-ия ƒ(φ(х)), сост-я из непр-вных ф-ций, непр-на в точке х0.
5) Если ф-я у=ƒ(х) непрер. и строго монотонна на [a;b] оси Oх, то обр. ф-я у=φ(х) также непрер. и монотонна на соотв. отрезке [c;d] оси Оу.
34.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
Пусть ф-ция y=f(x) определена на некот множ-тве Х, тогда произв. ф-цией y=f(x) назыв. предел отношения приращения ф-ции к приращению независ. переменной, если этот предел сущ-ет когда приращ-е аргумента стремится к нулю. Если ввести обозначения: то выраж-е можно записать в виде:
Обозначается произ-я у’, f’(x), ,
C геометр. точки зр. значения производной ф-ции, вычисленное в некот. точке численно равно угловому коофициенту касательной, проведенной к графику ф-ции у=f(x) в точке с абсциссой ,
т.е. f’(
f’(
Пусть задана ф-ция S=S(t), кот. опред-ет зависимость пути от времени,в механике S’(t)=V –мгнов.скорость в момент времени t.
Пусть задана ф-ция у=f(x), для которой сущ-ет производная у’=f’(x). Эластич-тью ф-ции у=f(x) относ-но переменной х назыв-ся предел:
Его обознач-т
Эластич-ть относ-но х есть приближен.процентн прирост ф-ции (повышение/пониж-е) при приращении независ переменной на 1%.
35. Правила дифферен-я. Таб-ца произв-ых.
Операция нахождения производной назыв. дифференцированием.
Пусть u=u(x), v=v(x)- некот диффер-мые ф-ии, с-конст. Тогда:
1)С’=0. 2)(u±v)’=u’±v’ 3)(uv)’=u’v+uv’. 4)(c u)’=c u’. 5) 6)y=f(u), где u=.Произв-я сложн ф-ции = произвед-ю произв-ых составляющих ее ф-ций:y’=. Т-ца осн. пр-ых: (1/x)’=-1/;
;
36.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
Производная показательной функции:
При для любого х
Производная неявной функции:
При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение . Отсюда получим формулу для производной функции, заданной неявно:=. Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением:
, .
Производные высших порядков:
Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f (n)(x) = (f (n -1)(x))'
37. Теорема Ферма. Т-ма Ролля. Их геом смысл.
Теорема Ферма:
Пусть функцияопределена наX и во внутренней точке С этого промежутка принимает наиб-е или наимен-е знач-е. Если сущ конечная пр-я , то необх-мо, чтобы.Док-во: Пустьв точке с принимает наиб-е значение, т.е.≥для хХ. По опред-ю пр-ой:=Этот предел не зависит от того, приближ-ся х к с слева или справа.Разность≤0, следовательно, при х>с
≤0,а при x>c ≥0. Переходим к пределу:
Т. К. по усл. существует, то односторонние производные равны и=0 ∆
37а Теорема Роля: Пусть задана ф-ция и пусть она: 1) определена и непрepывна на ; 2) дифференц-ма, по крайней мере, на; 3) имеет равные значения на концах отрезка, т.е.. Тогда найдётся с (a<c<b) такое, что =0.Док-во: Ф-ция непрерывна на, следов-но, достиг наиб-го М и наимен-гоm знач-й, т.е. m≤≤M. Рассмотрим 2 случая:1)M=m. Тогда =const, =М,=0 и любую точку изможно принять за с.2)M>m. Так как,то М иm не достиг-ся оба на концах отрезка, т.е. хотя бы одно достиг-ся в точке c, а по теореме Ферма =0 ∆.
Геом смысл теорем Роля и Ферма состо в том, что при выполн-и условий теоремы на инт-ле сущ точкаe такая, что в соответ-ей т-ке кривой касательная ║ оси Ох. Таких точек на интервале может быть и неск-ко, но теорема утверждает существ-е по кр. мере 1 такой точки.