1.Понятие функции нескольких переменных.

Пусть D-множество пар (x;y) действительных чисел и z-некоторое числовое множество. Если каждой паре (х;у)D по некоторому правилу поставлено в соответствие одно определенное число zZ, то говорят, что на множестве D задана функция z = f (x,y). x,y -независимые переменные ( аргументы ), D - область определения функции.

Так как каждой паре чисел (х,у) на плоскости соответствует единственная точка М(х,у) и наоборот, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки М(х,у) и вместо записи z = f (x,y) записывать z = f (M). Аналогично определяется функция n переменных: z = f (x₁, x₂, …, x_n). Функцию двух переменных можно задать с помощью формулы, с помощью таблицы или графиком. Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность.

2. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Предел функции.

Число А называется пределом функции z = f (M) в точке М₀, если для любой сходящейся к М₀ последовательности точек М₁, М₂, М₃,…,М_n,.., отличных от М₀ , соответствующая последовательность значений функций f (M₁), f (M₂), f (M₃), …, f (M_n), … сходится к числу А.

3. Непрерывность.

Опр.1: Функция z = f (M) называется непрерывной в точке М₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть если lim _MM0 f(M) = f(M₀).

Опр.2: Если в точке М₀(х₀,у₀) бесконечно малым приращениям аргумента ∆х и ∆у соответствует бесконечно малое приращение функции ∆z, то функция непрерывна в точке М₀. lim _{∆x0. ∆y0} ∆z = 0

4. Частные производные.

Частные производные. Опр.: если существует предел lim_∆x0 , то он называется частной производной по х и обозначается , z^_{x .} Аналогично .

Из определения частных производных следует, что каждая частная производная функции двух переменных находится как производная функции одной переменной, где вторая переменная постоянна.

Производные высших порядков. z = f (x,y)

z^_xx= (z^_x)_x ; z^_xy= (z^_x)_y ; z^_yy= (z^_y)_y ; z^_yx= (z^_y)_x

Если в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀) производные f^_ху и f_yx существуют и непрерывны в точке М₀, то они равны между собой в этой точке, то есть f^_ху (х₀,у₀) = f_yx (х₀,у₀).

5. Дифференцируемость функции. Опр.: функция z = f (x,y) называется дифференцируемой в точке М₀(х₀,у₀) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в следующем виде: ∆z = А∆x+В∆y+(∆x,∆y)∆x+(∆x,∆y)∆y (*), где А, В – независимые от ∆x и ∆y числа, (∆x,∆y) и (∆x,∆y) – бесконечно малые функции при ∆x0, ∆y0.

Необходимые условия дифференцируемости функции.

Теорема: если функция z = f (x,y) дифференцируема в точке М₀(х₀,у₀), то 1) она непрерывна в этой точке, 2) она имеет в точке М₀(х₀,у₀) частные производные f^_х (х₀,у₀) и f_y (х₀,у₀), при этом f^_х (х₀,у₀) = А , f_y (х₀,у₀) = В.

Доказательство: 1) так как по условию теоремы функция дифференцируема в точке М₀, то имеет место равенство (*). Найдем lim _{∆x0. ∆y0} ∆z = lim _{∆x0. ∆y0} (А∆x+В∆y+(∆x,∆y)∆x+(∆x,∆y)∆y) = 0. Отсюда следует, что функция непрерывна в точке М₀. Заметим, что из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

2) в равенстве (*) положим ∆y=0, тогда ∆z = ∆_хz. ∆_хz = А∆x+(∆x,0)∆x, полученное равенство разделим на ∆x и перейдем к пределу при ∆x0: lim_∆x0 = lim_∆x0 (А++(∆x,0)) = А + 0 = А. Мы получили, что lim_∆x0 = А  z^_{x =} А. Аналогично можно доказать, что существует z^_{у =} В.

Используя полученные результаты, равенство (*) можно записать так: ∆z = ∆x+ ∆y+(∆x,∆y)∆x+(∆x,∆y)∆y (**). Заметим, что из существования частных производных еще не следует дифференцируемость функции.