11.8. Приклади розрахунку статично невизначуваних стержневих систем методом сил
Приклад 11.1. Визначити зусилля у стержнях ферми, зображеної на рис.11.37.
Рис.11.37
Розв’язок:
1.
Визначаємо ступінь статичної
невизначуваності системи:
.
2. Вибираємо основну систему (Рис.11.38). Основна система отримується з заданої шляхом розсічення одного зі стержнів, наприклад, стержня ВС.
Рис.11.38
3. Зображуємо еквівалентну систему (Рис.11.39).
Рис.11.39
Канонічне рівняння методу сил має вигляд:
.
(а)
Фізичний зміст цього рівняння полягає в тому, що взаємне переміщення перерізів в місці розсіченні стержня ВС, дорівнює нулю.
4. Зображуємо вантажний стан системи (Рис.11.40) і визначаємо зусилля в стержнях ферми АВ і ВD:
Рис.11.40.
Складаємо рівняння рівноваги
сил на осі
і
:
;
(б)
,
(в)
звідки
знаходимо:
кН;
.
5. Зображуємо одиничний стан системи (Рис.11.41) і знаходимо одиничні зусилля в стержнях ферми:
Рис.11.41.
Складаємо рівняння рівноваги
на осі
і
:
;
(б)
,
(в)
звідки знаходимо:
;
.
6. Визначаємо вантажне
та одиничне переміщення
.
Для цього скористаємося формулою
Максвелла:
;
.
З рівняння (а) знаходимо
“зайву” невідому
:
кН.
Зусилля в стержнях
і
знайдемо скористашись виразом:
.
(г)
Підставляючи у формулу (г) значення “зайвої” невідомої, вантажних і одиничних згинальних моментів, одержуємо:
кН;
кН.
Приклад 11.2. Визначити реакцію опори В рами, зображеної на рис.11.42.
Рис.11.42
Слід зазначити, що в заданій постановці можна уникнути побудови сумарних епюр згинальних моментів і поперечних сил для визначення реакції опори В. Для цього потрібно вибрати основну систему таким чином, щоб зв'язок в опорі В виявився “зайвим”. Тоді “зайва” невідома, що заміняє дію “зайвого” зв'язку, і буде шуканою реакцією.
Розв’язок:
1. Розбиваємо раму на ділянки, вибираємо точку спостереження, вводимо додатні і від’ємні сторони і проставляємо “характерні” перерізи.
2. Визначаємо ступінь статичної
невизначуваності:
.
3. Вибираємо основну систему.
З огляду на те, що нас цікавить реакція
опори В, приймаємо в якості “зайвої”
невідомої реакцію на цій опорі
(Рис.11.43):
Рис.11.43.
4. Зображуємо еквівалентну систему (Рис.11.44).
Канонічне рівняння метода сил має вигляд:
.
(а)
Фізичний зміст цього рівняння
– рівність нулеві переміщеня у напрямку
“зайвою” невідомою
,
викликаного самою зайвою невідомою і
зовнішнім навантаженням.
Рис.11.44.
Канонічне рівняння методу сил має вигляд:
(а)
Фізичний зміст цього рівняння
– рівність нулю переміщеня у напрямку
“зайвою” невідомою
,
викликаного самою зайвою невідомою і
зовнішнім навантаженням.
5. Зображуємо вантажний стан
системи (Рис.11.45,а) і будуємо вантажну
епюру згинальних моментів
(Рис.11.45,б):
Рис.11.45
6.
Зображуємо одиничний стан системи
(Рис.11.46,а) і будуємо одиничну епюру
згинальних моментів
(Рис.11.46,б):
Рис.11.46
7. Перемножуючи вантажну епюру
і одиничну епюру
згинальних моментів за формулою
Мора-Сімпсона (11.8), знаходимо вантажне
переміщення
:
.
(б)
8. Перемножуючи одиничну епюру
згинальних моментів саму на себе за
формулою трикутників (11.9), знаходимо
одиничне переміщення
:
.
(в)
Підставляючи (б) і (в) у рівняння
(а) і розв’язуючи
його відносно
,
одержимо:
кН.
Отримане значення для “зайвої”
невідомої
і є величиною опорної реакції В. Додатний
знак у реакції означає, що напрямок
“зайвої” невідомої
,
а, отже, і реакції опори В обрано правильно.
Приклад 11.3.Визначити реакції опор нерозрізної балки, наведеної на рис.11.47.
Рис.11.47
Розв’язок:
1.Розбиваємо балку на ділянки і проставимо на кожній ділянці “характерні” перерізи (Рис.11.47).
2. Визначаємо ступінь статичної
невизначуваності:
.
3. Вибираємо основну систему (Рис.11.48):
Рис.11.48
4. Зображуємо еквівалентну систему (Рис.11.49):
Рис.11.49
Канонічне рівняння методу сил має вигляд:
.
(а)
Фізичний зміст цього рівняння
– рівність нулю взаємного кута повороту
двох перерізів, що прилягають до опори
В, викликаного зовнішніми силами та
опорними моментами
,
прийнятими в якості “зайвої” невідомої.
5. Зображуємо вантажний стан
системи (Рис.11.50,а) і будуємо епюру
вантажних згинальних моментів
(Рис.11.50,б).
Рис.11.50
6. Зображуємо одиничний стан
системи (Рис.11.51,а) і будуємо епюру
одиничних згинальних моментів
(Рис.11.51,б).
Рис.11.51
7. Використовуючи формулу
трикутників (11.9), визначаємо вантажне
переміщення
та одиничне переміщення
,
перемножуючи відповідні епюри згинальних
моментів:
;
(б)
.
(в)
8. Підставляючи (б) і (в) у (а),
знаходимо
:
кНм.
(г)
9. Визначаємо сумарні згинальні
моменти
в “характерних” перерізах, скориставшись
формулою (11.10), і будуємо сумарну епюру
згинальних моментів (Рис.11.52).
кНм;
кНм;
кНм;
кНм;
кНм;
кНм;
.
Рис.11.52
10. Вирізаємо ділянки (Рис.11.53),
складаємо рівняння рівноваги, визначаємо
значення поперечної сили і будуємо
сумарну епюру поперечних сил
(Рис.11.54):
Рис.11.53
Складаємо рівняння рівноваги для ділянки №1:
.
Звідки:
кН.
Поперечна сила на ділянці буде сталою, тому що на ділянці відсутнє розподілене навантаження. Тому при визначенні поперечної сили на ділянці досить скласти тільки одне рівняння рівноваги.
Складаємо рівняння рівноваги для ділянки №2:
.
Звідки:
кН.
Складаємо рівняння рівноваги для ділянки №3:
.
Звідки:
кН.
Будуємо сумарну епюру поперечних сил (Рис.11.54).
Рис.11.54
11. Користуючись епюрою поперечних сил (Рис.11.54), визначаємо опорні реакції і проставляємо їх на рис.11.55.
кН;
кН;
кН.
Рис.11.55