11.3. Класифікація стержневих систем за статичною ознакою

За статичною ознакою стержневі системи підрозділяються на статично визначувані і на статично невизначувані.

11.3.1. Статично визначувані системи

Статично визначуваними системами називаються стержневі системи, для визначення реакцій опор у якій досить рівнянь рівноваги. Статично визначуваними є ферма і балка зображені відповідно на рис 11.1 і 11.2. Приклади статично визначуваних балок і рам наведені на рис 11.12.

Варіанти опор у будівельній механіці приймаються у вигляді окремих стержнів (Рис.11.12,а,б) і у вигляді трикутників (Рис.11.12,в,г). На рис.11.12,а ліва опора складається з двох стержнів, що обмежують переміщення балки у вертикальному та горизонтальному напрямках. Така опора називається шарнірно нерухомою і відповідає правій опорі на рис.11.12,в.

Рис.11.12

Деякі стержневі системи, які мають зайві зовнішні зв'язки, є статично визначуваними системами. Приклад такої статично визначуваної балки наведений на рис.11.13,а. Балка має один внутрішній шарнір. Реакції опор таких стержневих систем визначаються з використанням тільки рівнянь рівноваги і, отже, ці системи є статично визначуваними. Методика визначення реакцій в таких системах наводится в розділі “Статика” в теоретичній механіці. Ще один приклад внутрішньо статично визначуваної рами наведений на рис. 11.13,б.

Рис.11.13

11.3.2. Статично невизначувані системи

Статично невизначуваними системами називаються стержневі системи, для яких недостатньо тільки рівнянь рівноваги для визначення реакцій опор. Для розкриття статичної невизначуваності таких систем необхідно складати додаткові рівняння спільності деформацій. Кількість таких рівнянь визначається ступінню статичної невизначуваності стержневої системи. На рис.11.14 навендені приклади статично невизначувних балок і рам.

Рис.11.14

Балка, зображена на рис.11.14,б, називається нерозрізною балкою. Походить ця назва від того, що проміжна опора лише підпирає балку. У місці опори балка не розрізана шарніром, шарнір не врізаний у тіло балки. Тому вплив напружень і деформацій, які балка зазнає на лівому прольоті, позначаються і на правому прольоті. Якщо в місці проміжної опори врізати шарнір в тіло балки, то в результаті система стане статично визначуваною ( з однієї балки ми одержимо дві незалежні одна від одної балки, кожна з яких буде статично визначуваною). Слід зазначити, що нерозрізні балки є менш матеріаломісткими у порівнянні з розрізними, тому що більш раціонально розподіляють згинальні моменти уздовж балки. У зв'язку з цим нерозрізні балки набули широкого застосування у будівництві і машинобудуванні. Однак, нерозрізні балки, як балки статично невизначувані, вимагають спеціальної методики розрахунку, який потребує вивчення деформацій системи.

Перш, ніж приступати до розрахунку статично невизначуваної системи, необхідно навчитися визначати ступінь їх статичної невизначуваності. Одним з найбільш простих правил визначення ступеня статичної невизначуваності є наступне:

, (11.3)

де  кількість зв'язків, що накладаються на конструкцію;  кількість можливих незалежних рівнянь рівноваги, які можна скласти для системи, що розглядається.

Скористаємося рівнянням (11.3) для визначення ступеня статичної невизначуваності систем, зображених на рис 11.14.

Балка, зображена на рис 11.14,а, є один раз статично невизначуваною, тому що має три зв'язки на лівій опорі та один зв'язок на правій опорі. Незалежних рівнянь рівноваги для такої балки можна скласти тільки три. Отже, ступінь статичної невизначуваності балки . Нерозрізна балка, зображена на рис 11.14,б, також один раз статично невизначувана, тому що має два зв'язки на лівій опорі і по одному зв'язку на проміжній опорі і на правій опорі – всього чотири зв'язки. Таким чином, ступінь її статичної невизначуваності.

Рама, зображена на рис. 11.14,в, три рази статично невизначувана, тому що має шість зв'язків на опорах. Незалежних рівнянь рівноваги для цієї рами можна скласти тільки три. Отже, ступінь статичної невизначуваності для цієї рами у відповідності до рівняння (11.3) . Ступінь статичної невизначуваності рами, зображеної на рис.11.18,г, дорівнює чотирьом, тому що рама має сім зв'язків на опорах. Отже, ступінь її статичної невизначуваності дорівнює.

Правило (11.3) для визначення ступеня статичної невизначуваності застосовують тільки для простих систем. У більш складних випадках це правило не працює. На рис 11.15 наведена рама, ступінь статичної невизначуваності якої, користуючись рівнянням (11.3), визначити неможливо.

Рис.11.15

Зовні система, наведена на рис.11.15, п'ять разів статично невизначувана. Це легко встановити за допомогою рівняння (11.3): від шести зовнішніх зв'язків (три в перерізі А, три в перерізі В і два в перерізі С) треба відняти три можливих рівняння рівноваги. Однак, ця система має ще і внутрішню статичну невизначуваність. Врахувати внутрішню статичну невизначуваність за допомогою рівняння (11.3) не можна.

Рис.11.16.

Перш, ніж перейти до визначення ступеня статичної невизначуваності рами, зображеної на рис 11.15, введемо кілька визначень. Перше з цих визначень містить у собі поняття про простий шарнір.

Простим називається шарнір, що з'єднує два стержні (Рис.11.16).

Шарнір, що з'єднує кілька стержнів, називається складним (Рис.11.17).

Рис.11.17.

Кількість простих шарнірів, що можуть замінити один складний шарнір, визначимо з формули:

, (11.4)

де  кількість стержнів, що входять у вузол.

Перерахуємо складний шарнір, зображений на рис.11.17, у кількість простих шарнірів за допомогою формули (11.4): . Таким чином, складний шарнір, зображений на рис.11.17, можна замінити чотирма простими шарнірами.

Введемо ще одне поняття  замкнений контур.

Доведемо теорему: будь-який замкнений контур три рази статично невизначуваний.

Для доказу теореми розглянемо замкнений контур, навантажений зовнішніми силами (Рис.11.18).

Рис.11.18

Разріжемо замкнений контур вертикальним перерізом і покажемо внутрішні силові фактори, що виникають у місці перерізу. У кожному з перерізів виникають три внутрішніх фактори: поперечна сила , згинальний моменті поздовжня сила. Усього на кожну з відсічених частин контуру крім зовнішніх сил діють шість внутрішніх факторів (Рис.11.18,б,в). Розглядаючи рівновагу однієї з відсічених частин, наприклад, лівої (Рис.11.18,б), з'ясовуємо, що задача три рази статично невизначувана, тому що для відсіченої частини можна скласти всього три незалежні рівняння рівноваги, а невідомих сил, що діють на відсічену частину, шість. Таким чином, ступінь статичної невизначуваності замкнутого контура дорівнює. Теорема доведена.

Тепер, використовуючи поняття про простий шарнір і замкнений контур, можна сформулювати ще одне правило для визначення ступеня статичної невизначуваності:

, (11.5)

де  кількість замкнутих контурів;  кількість шарнірів у перерахуванні на прості (11.4).

Користуючись рівнянням (11.5), визначимо ступінь статичної невизначуваності рами, зображеної на рис 11.15. Рама має п'ять контурів , включаючи контур, утворений опорними стержнями. Шарнір у вузлі D простий, тому що з'єднує два стержні. Шарнір у вузлі К – складний, тому що з'єднує чотири стержні. Кількість простих шарнірів, що могли б замінити шарнір у вузлі К, дорівнює за формулою (11.4):. Шарнір С також є складним, тому що з'єднує три стержні. Для цього шарніра. Крім того система має ще два простих шарніри, за допомогою яких кріпиться до основи. Отже, кількість простих шарнірів у системі дорівнює. Підставляючи кількість замкнутих контуріві кількість простих шарніріву формулу (11.5), визначаємо ступінь статичної невизначуваності рами:. Таким чином, зображена на рис.11.15 рама сім разів статично невизначувана. А це є ознакою того, що для розрахунку подібної системи необхідно скласти додатково до трьох рівнянь рівноваги сім рівнянь спільності деформацій. Вирішуючи отриману таким чином систему з 10 рівнянь щодо невідомих, які входять у ці рівняння, можна визначити як величини реакцій у зовнішніх зв'язках, так і внутрішні зусилля, що виникають у рамі. Процедуру розв’язання цієї задачі можна трохи спростити, виключивши з системи рівнянь рівняння рівноваги. Однак такий підхід вимагає застосування спеціальних методів, одним з яких є метод сил.