- •Тема 6 определение перемещений при изгибе. Расчет балок на жесткость
- •6.3. Дифференциальные зависимости при изгибе
- •Эти зависимости, после некоторого преобразования, можно расположить последовательно: (6.10)
- •6.4. Определение перемещений в балках методом начальных параметров
- •Подставляя в эти уравнение , получим:
- •Подставляем координату сечения с в уравнение (б). Получим:
- •6.5.Тесты к теме №6 “Определения перемещений при изгибе. Расчет балок на жесткость”
Подставляя в эти уравнение , получим:
;(6.22)
.(6.23)
Таким образом, произвольные постоянные иравны соответственно углу поворота и прогибу в начале координати, которые принято называтьгеометрическими начальными параметрами. Подставляя в уравнение (6.15) вместо постоянных интегрированияиравные им значения начальных параметров, получаем:
. (6.24)
Если на балку действует несколько моментов и сил, а также несколько участков распределенной нагрузки, уравнение для прогибов можно составить в следующем виде:
(6.25)
Уравнение (6.25) обычно называют универсальным уравнением упругой линии.
Продифференцировав уравнение (6.25), получим уравнение углов поворота сечения:
. (6.26)
Здесь и в формуле (6.25) приняты следующие обозначения: тип внешнего силового фактора (); показатель степени, получаемый при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии; координата сечения, в котором приложена сросредоточенная сила или момент, или координата сечения, к котором начинается действие распределенной нагрузки. Соответствие величины показателя степени типу внешнего фактора приведено в таблице 6.1.
Таблица 6.1
Тип внешней нагрузки |
Показатель степени |
Внешний момент |
2 |
Сосредоточенная сила |
3 |
Интенсивность распределенной нагрузки |
4 |
Знаки слагаемых в уравнения (6.25) и (6.26) определяются знаком изгибающего момента, который вызывается соответствующим силовым фактором.
Характерной особенностью метода начальных параметров является то, что для определения перемещения нет необходимости составлять и интегрировать дифференциальное изогнутой оси балки. Достаточно составить универсальное уравнение упругой линии (6.25), из условий на опорах найти начальные параметры и снова воспользоваться универсальным уравнением, чтобы найти прогиб в рассматриваемом сечении.
Рассмотрим пример определения перемещений по методу начальных параметров.
Пример 6.10. Определить прогиб посредине пролета балки, приведенной на рис.6.14, и угол поворота сечения С на левом конце балки. Материал балки сталь с модулем упругости МПа. Балка представляет собой двутавр № 20 с моментом инерциисм4.
Решение:
1. Определим опорные реакции. Для этого составим два уравнения равновесия:
. Откуда кН;
. Откуда кН.
2. Помещаем начало координат на правом конце балки в точку В, ось прогибов направляем вверх, ось влево. Чем в данном случае определен выбор начала координат? Если выбрать начало координат на левом конце балки в сечении С, то предварительно придется искать оба начальных параметра, так как ни угол поворота сечения С, ни прогиб в этом сечении заранее неизвестны. Для их определения потребуется составлять систему из двух уравнений и решать ее относительно двух неизвестных начальных параметров. Если же выбрать начало координат на правом конце балки в сечении В, то находить придется лишь один начальный параметр – угол поворота сечения В . Второй начальный параметр – прогиб в сечении В– искать не нужно, так как он равен нулю из граничного условия на опоре В.
3. Разбиваем балку на участки (Рис.6.14) и записываем универсальное уравнение упругой линии (6.25) для последнего участка:
(а)
4. Из уравнения (а) определяем начальный параметр из условия, что прогиб в сечении А прим равен нулю:
.
Откуда
.
5. Определяем прогиб посредине пролета балки при м. Так как сечение посредине балки принадлежит первому участку, вычеркиваем из универсального уравнения все члены, принадлежащие второму и третьему участкам. Получим:
.
Подставляем численные значения модуля упругости и момента инерции в полученное выражение. Получаем:
м = 44,3мм.
Знак “” означает, что направление прогиба не совпадает с направлением оси прогибов .
6. Определяем угол поворота сечения С. Для этого воспользуемся выражением (6.26). Так как сечение С принадлежит третьему участку, составим уравнение для угла поворота для этого участка:
. (б)