6.4. Определение перемещений в балках методом начальных параметров

Этот метод определения перемещений в балках относится также к методам аналитическим. При использовании метода непосредственного интегрирования упругой линии балки нам приходилось определять постоянные интегрирования и. При одном участке таких постоянных было две. С увеличением числа участков количество постоянных интегрирования растет вдвое. Так, если балка по условиям нагружения имеетучастков, то интегрирование дифференциальных уравнений для всех участков балки даетпроизвольных постоянных. Из граничных условий опирания балки можно найти всего 2 постоянные интегрирования. Остальныепостоянные приходится определять из условия непрерывного и плавного сопряжения для всех участков упругой линии. В результате мы получаем систему уравнений степени, решение которой уже привызывает серьезные сложности, учитывая процедуру составления дополнительных уравнений совместности деформаций. Эта громоздкая и кропотливая работа делает метод непосредственного интегрирования практически неприменимым для балок с большим числом участков.

Между тем, существует возможность решения подобных задач путем сведения всех постоянные интегрирования к двум независимо от числа участков. Этот метод получил название метода начальных параметров. Разработан этот метод советскими учеными Пузыревским Н.П., Куликовским П.Г., Снитко Н.К., Безухим Н.И., Уманским А.А. и др.

В соответствии с этим методом сведение всех постоянных интегрирования к двум – прогибу и углу поворота в начале координат – при любом числе участков стало возможным при выполнении следующих условий:

1. Начало кроординат необходимо выбирать в крайней левой (или правой) точке рассматриваемой балки и делать его общим для всех участков балки.

2. Выражение для изгибающего момента составлять, вычисляя моменты сил, расположенные по одну сторону от рассматриваемого сечения со стороны начала координат.

3. При включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента его следует умножать на множитель, равный единице, где абсцисса точки, в которой приложен момент .

4. В случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до рассматриваемого сечения, а для восстановления действительных грузовых усилий вводят “компенсирующую” нагрузку обратного направления.

5. Интегрирование уравнений на всех участках следует производить, не раскрывая скобок.

Рассмотрим балку (Рис.6.13), нагруженную группой сил. Начало координат поместим на левом конце балки в точке и составим уравнение изгибающих моментов для крайнего четвертого участка:

(6.11)

Рис.6.13

Исследуя рис.6.13 легко можно увидеть, что из уравнения (6.11) изгибающий момент на IV участке получается путем вычеркивания членов, появляющихся лишь на V участке:

. (6.12)

Остальные члены, входящие в уравнение (6.12) остаются такими же. Следует отметить, что коэффициенты ,,,….,, входящие в уравнение изгибающих моментов, могут иметь только положительные значения. Если окажется, что, то это означает, что соответствующая нагрузка расположена справа от рассматриваемого сечения, если начало координат лежит слева от сечения, или расположена слева от рассматриваемого сечения, если начало координат лежит справа от сечения. В дальнейшем для вывода окончательных выражений для перемещений будем считать, что начало координат расположено на левом конце балки (Рис.6.13).

Составим дифференциальное уравнение упругой линии для участка V:

. (6.13)

Интегрируя первый раз обе части равенства (6.13), не раскрывая скобок, получим:

. (6.14)

Инрегрируем второй раз:

. (6.15)

Дифференциальное уравнение на IV участке примет вид:

. (6.16)

Проинтегрировав это уравнение дважды получим:

. (6.17)

. (6.18)

Вычислим теперь угол поворота сечения , лежащего на стыке участковIV и V. Из условия плавного сопряжения участков получим:

. (6.19)

Откуда: .

Принимая и подставляя в уравнения (6.18) и (6.15), из условия непрерывного сопряжения участковнаходим:

.

Выполнив аналогичные операции для остальных участков, получим:

;

.

Определим геометрический смысл постоянных интегрирования. Для этого найдем угол поворота и прогиб в начале координат при . Это сечение принадлежит первому участку. Составим уравнение углов поворота и прогибов для первого участка, вычеркнув в уравнениях (6.14) и (6.15) слагаемые, учитывающие нагрузки, приложенные наII – V участках:

; (6.20)

. (6.21)