2.5. ДВОВИМІРНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

Нехай у результаті випробування спостерігаються значення двох одновимірних випадкових величин. Сукупність випадкових величин, які розглядаються разом, називається системою двох випадкових величин, або двовимірною випадковою величиною.

2.5.1. ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ КОМПОНЕНТ

Всяке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини ( X , Y ) і відповідними їм ймовірностями, називається законом розподілу ймовірностей системи випадкових величин.

Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини

Знаючи закон розподілу двовимірної випадкової величини( X , Y ), можна побудувати закони розподілу одновимірних складовихX і Y , обчислюючи відповідні ймовірності за формулами

де p1x = P{X = x1 , Y = y1} + P( X = x1 , Y = y2 ) + ... + P( X = x1 , Y = yn ).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

62

Приклад 2.12. Здійснюється два постріли по мішені в незмінних умовах. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Випадкова величина X – число пострілів до першого влучення (включно), Y – число промахів. Знайти:

2 3

Контроль åå pij = 1;

i=1 j =1

б) щоб записати закони розподілу складовихХ і Y, обчислимо ймовірності подій {Х = хi } (i =1, 2) і {Y = y j } ( j = 1, 2, 3):

P{X = 1}= 0,64 + 0,16 + 0 = 0,8;

P{X = 2}= 0 + 0,16 + 0,04 = 0,2.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

63

2

(Підсумуємо ймовірності “по рядках”, тобто знайдемо å pij ).

j=1

Далі

P{у = 0}= 0,64 + 0 = 0,64;

P{у = 1}= 0,16 + 0,16 = 0,32;

P{у = 2}= 0 + 0,04 = 0,04.

3

(Підсумуємо ймовірності “по стовпцях”, тобто знайдемо å pij ).

j=1

Отже, закони розподілу складових Х і Y:

2.5.2. ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ ДВОВИМІРНОЇ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Функцією розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини

Геометрично функцію F (x, y) можна тлумачити як ймовірність попадання випадкової точки ( X , Y ) в безмежний квадрант з вершиною (х, у), який розміщений лівіше і нижче цієї вершини. Для двовимірної випадкової величини ( X , Y ) дискретного і неперервного типу функції розподілу відповідно дорівнюють

де f (x, y) – щільність ймовірності величини ( X , Y ). Функція розподілу F (x, y) має такі властивості:

1. Значення функції розподілу задовольняють подвійну нерівність

0£ F (x, y) £1.

2.F (x, y) є неспадною функцією за кожним аргументом, тобто:

F (x2 , y) ³ F (x1, y) при x2 > x1;

F (x, y2 ) ³ F (x, y1 ) при y2 > y1.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

64

3. Мають місце граничні співвідношення:

F (-¥; - ¥) = F (-¥; y) = F (x; - ¥) = 0.

4.F (x; + ¥) F=1(x); F (+¥; y) = F2 ( y), де F1(x) і F2 ( y) функції розпо-

ділу складових X і Y відповідно.

5.F (+¥; + ¥) =1.

6.Ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник

2.5.3. ЩІЛЬНІСТЬ СУМІСНОГО РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ НЕПЕРЕРВНОЇ ДВОВИМІРНОЇ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ. ЙМОВІРНІСТЬ ПОПАДАННЯ ВИПАДКОВОЇ ТОЧКИ В ЗАДАНУ ОБЛАСТЬ

Щільністю розподілу ймовірностей двовимірної неперервної випадкової величини ( X , Y ) називають другу мішану похідну від її функції розподілу, тобто:

¶x¶y

Щільність розподілу ймовірностей f (x, y) має такі властивості:

1.f (x, y) – невід’ємна функція: f (x, y) ³ 0.

2.Подвійний невласний інтеграл з безмежними межами інтегрування від двовимірної щільності розподілу дорівнює одиниці:

¥ ¥

ò ò f (x, y)dxdy =1.

-¥ -¥

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

65

3.Ймовірність того, що значення випадкової величини належатимуть області D, дорівнює подвійному інтегралу від двовимірної щільності розподілу по цій області

P{( X ,Y ) Î D} = òò f (x, y)dxdy.

D

4.Функція розподілу f (x, y) двовимірної випадкової величини ( X , Y ) може бути виражена через двовимірну щільність розподілу за -до помогою рівності:

F (x, y) = P(X < x, Y < y) =

чини ( X , Y ) , легко знайти щільності розподілу f1 (x) і f 2 ( y) для її компонент Х і У. Справді, функція розподілу випадкової величиниХ дорівнює

x ¥

F1 (x) = F (x, ¥) = ò ò f (x, y)dxdy.

-¥ -¥

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

66

Диференціюючи обидві частини цієї рівності за х, одержимо:

Аналогічно

¥

f2 ( y) = ò f (x, y)dx.

-¥

Таким чином, щільність розподілу однієї із складових дорівнює невласному інтегралу з безмежними межами інтегрування від щільності сумісного розподілу системи, причому змінна інтегрування відповідає іншій складовій.

Приклад 2.15. Двовимірна неперервна випадкова величина( X ,Y ) задана щільність розподілу:

2.5.4. УМОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ СКЛАДОВИХ СИСТЕМИ ДИСКРЕТНИХ І НЕПЕРЕРВНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

ЗАЛЕЖНІ ТА НЕЗАЛЕЖНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

1. Випадок дискретної величини

Розглянемо дискретну двовимірну випадкову величину( X ,Y ) . Нехай можливі значення складових такі: x1, x2 ,..., xn ; y1, y2 ,..., ym .

Через p(xi / y j ) позначимо умовну ймовірність того, що випадко-

ва величина Х набуде значення xi за умови, що випадкова величина Y

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

67