Частина 2
.pdfДержавний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”
Кафедра вищої математики та інформатики
В.М. Долгіх, К.А. Дахер
ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
Частина 2
Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення
Навчальний посібник У 4 частинах
Для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів
Суми ДВНЗ “УАБС НБУ”
2008
УДК 517:517.2](075.8) Д64
Рекомендовано до видання методичною радою Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи Національного банку України”, протокол № 10 від 20.06.2008.
Розглянуто і схвалено на засіданні кафедри вищої математики та інформатики, протокол № 9 від 20.05.2008.
Рецензенти:
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко;
кандидат технічних наук, доцент
С.В. Кунцев
Відповідальний за випуск
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко
Долгіх, В. М.
Д64 Вища математика для економістів. Ч. 2. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення [Текст] : навч. посібник : у 4 ч. / В. М. Долгіх, К. А. Дахер ; Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”. − Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2008. – 76 с.
Друга частина посібника містить теоретичні відомості з теорії границь і диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних, приклади розв’язування основних типів задач, питання для самоперевірки.
Призначений для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
УДК 517:517.2](075.8)
©Долгіх В.М., Дахер К.А., 2008
©ДВНЗ “Українська академія банківської справи Національного банку України”, 2008
ЗМІСТ |
|
ВСТУП..................................................................................................................... |
6 |
1. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ.................................................. |
7 |
1.1. Функція однієї змінної.............................................................................. |
7 |
1.1.1. Поняття функції. Способи задання функцій ............................... |
7 |
1.1.2. Деякі типи функцій........................................................................ |
8 |
1.2. Послідовності............................................................................................ |
11 |
1.2.1. Числова послідовність. Основні означення................................. |
11 |
1.2.2. Границя послідовності................................................................... |
12 |
1.2.3. Теореми про границі послідовностей........................................... |
13 |
1.2.4. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності............. |
14 |
1.3. Границя функції ........................................................................................ |
15 |
1.4. Нескінченно малі функції......................................................................... |
16 |
1.5. Нескінченно великі функції..................................................................... |
17 |
1.6. Основні теореми про границі................................................................... |
18 |
1.7. Визначні границі....................................................................................... |
19 |
1.7.1. Перша визначна границя............................................................... |
19 |
1.7.2. Друга визначна границя................................................................. |
20 |
1.8. Приклади обчислення границь функцій................................................. |
20 |
1.9. Неперервність функції.............................................................................. |
23 |
1.9.1. Неперервність функції у точці. |
|
Властивості неперервних функцій.............................................. |
23 |
1.9.2. Точки розриву. Класифікація точок розриву .............................. |
25 |
1.9.3. Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій, непе- |
|
рервних на відрізку....................................................................... |
26 |
2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ................ |
28 |
2.1. Похідна функції та деякі її інтерпретації................................................ |
28 |
2.1.1. Означення похідної функції однієї змінної................................. |
28 |
2.1.2. Зміст похідної................................................................................. |
28 |
2.1.3. Задача про миттєву швидкість руху. |
|
Механічний зміст похідної.......................................................... |
29 |
2.1.4. Економічний зміст похідної.......................................................... |
29 |
2.2. Диференційованість функції.................................................................... |
30 |
2.2.1. Диференційованість функції та її диференціал........................... |
30 |
2.2.2. Геометричний зміст диференціала............................................... |
31 |
2.3. Лінеаризація функції................................................................................ |
31 |
2.4. Правила диференціювання....................................................................... |
32 |
2.5. Похідна складеної функції....................................................................... |
33 |
2.6. Похідна оберненої функції....................................................................... |
33 |
2.7. Інваріантність форми диференціала першого порядку......................... |
33 |
2.8. Похідні основних елементарних функцій.............................................. |
34 |
2.9. Логарифмічне диференціювання............................................................. |
35 |
2.10. Диференціювання функцій, заданих параметрично............................. |
36 |
2.11. Похідні та диференціали вищих порядків ............................................. |
36 |
2.11.1. Похідні вищих порядків, їх властивості.................................... |
36 |
2.11.2. Диференціали вищих порядків, їх властивості......................... |
37 |
2.12. Точки екстремуму функції. |
|
Основні теореми диференціального числення...................................... |
38 |
2.12.1. Точки екстремуму функції.......................................................... |
38 |
2.12.2. Теорема Ферма............................................................................. |
39 |
2.12.3. Теорема Ролля.............................................................................. |
39 |
2.12.4. Теорема Лагранжа........................................................................ |
40 |
2.12.5. Теорема Коші................................................................................ |
40 |
2.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.................................... |
41 |
2.14. Формула Тейлора із залишковим членом у формах |
|
Пеано та Лагранжа................................................................................... |
43 |
2.15. Розклад основних елементарних функцій за формулою |
|
Тейлора, застосування її до наближених обчислень............................ |
46 |
2.16. Дослідження функції................................................................................ |
48 |
2.16.1. Умови зростання та спадання..................................................... |
48 |
2.16.2. Необхідна та достатня умови екстремуму................................. |
49 |
2.16.3. Найбільше та найменше значення функції................................ |
51 |
2.16.4. Опуклість функції, точки перегину............................................ |
52 |
2.16.5. Асимптоти..................................................................................... |
53 |
2.16.6. Загальна схема дослідження функції |
|
та побудови її графіка.................................................................. |
54 |
2.17. Застосування похідної в економіці. Еластичність попиту................... |
56 |
3. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ................................................................... |
60 |
3.1. Поняття функції багатьох змінних.......................................................... |
60 |
3.2. Границя і неперервність функції багатьох змінних............................. |
62 |
3.3. Частинні прирости та частинні похідні.................................................. |
62 |
3.4. Похідна за даним напрямом. |
|
Градієнт функції декількох змінних....................................................... |
63 |
3.5. Частинні похідні вищих порядків............................................................ |
65 |
3.6. Повний приріст. Повний диференціал функції багатьох |
|
незалежних змінних і його застосування............................................... |
66 |
3.7. Диференціювання складених функцій.................................................... |
67 |
3.8. Неявні функції та їх диференціювання................................................... |
68 |
3.9. Екстремуми функцій двох змінних......................................................... |
69 |
3.10. Найбільше і найменше значення функції, неперервної |
|
у замкненій обмеженій області. Умовний екстремум |
|
функції двох змінних. Метод множників Лагранжа............................. |
70 |
3.11. Маргінальна продуктивність виробництва. |
|
Попит на конкурентні товари.................................................................. |
73 |
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ........................................................................................ |
76 |
ВСТУП
Посібник у 4-х частинах написано відповідно до програми з вищої математики для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. Автори під час складання посібника мали на меті забезпечити ґрунтовне засвоєння теоретичного курсу з вищої математики, сприяти формуванню навичок у застосуванні методів вищої математики з підсиленням її прикладної економічної спрямованості.
Друга частина посібника складається з трьох розділів:
1.Вступ до математичного аналізу.
2.Диференціальне числення функції однієї змінної.
3.Диференціальне числення функції багатьох змінних.
Упершому розділі дано означення функції однієї змінної, наведені основні типи функцій, означення числової послідовності та границі послідовності, означення границі функції в точці та на нескінченності, основні теореми про границі, приклади обчислення границь, дані поняття неперервної в точці та на відрізку функції та їх властивостей, класифікація точок розриву.
Удругому розділі вивчаються методи диференціального числення функції однієї змінної, дані поняття похідної та диференціалу, схема дослідження функції, наведені приклади використання похідної
векономіці (еластичність та її застосування).
Третій розділ присвячений методам диференціального числення функцій багатьох змінних. У цьому розділі дані поняття частинних похідних, повного диференціалу, наведені приклади використання частинних похідних в економіці (маргінальна продуктивність, попит на конкурентні товари).
Усі розділи мають однакову структуру. Насамперед, викладено основний теоретичний матеріал (означення, твердження, теореми тощо), пропонуються приклади розв’язування типових задач теоретичного й економічного характеру. Наприкінці теми наведені питання для самоперевірки засвоєння матеріалу.
Знаками ► і позначається початок і кінець розв’язання прикладу, а знаками Z і − початок і кінець доведення теореми або твердження.
Поєднання у посібнику належної повноти, обґрунтованості, логічної довершеності й доступності подання матеріалу дає можливість рекомендувати це видання для студентів усіх економічних спеціальностей вищих навчальних закладів як денної, так і заочної форм навчання.
Розділ 1 написаний доц. В.М. Долгіх, розділи 2, 3 − старшим викладачем К.А. Дахер.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
6
1.ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
1.1.ФУНКЦІЯ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1.1.1.Поняття функції. Способи задання функцій
Нехай Х і Y – дві числові множини. Якщо кожному значенню х Х відповідає єдиний елемент у Y, то кажуть, що задана функція f, яка відображає множину Х на множину Y, і записують це так: y = f(x).
Множину Х називають областю визначення (існування) функції і позначають D(f) = X, а Y − множиною значень функції і позначають
E(f) = Y.
Якщо множина Х спеціально не визначена, то під областю визначення мають на увазі область допустимих значень (ОДЗ) змінної х, тобто множину значень х, при яких функція має сенс.
Приклад1.1. y = πx2. Область визначення функції (ОДЗ): Х = (−∞, ∞), множина значень: Y = [0, ∞). Іноді область визначення доводиться обмежувати з урахуванням фізичного або геометричного змісту задачі. Наприклад, якщо y – площа кола, а х – радіус, то область визначення
Х = [0, ∞).
Способи задання функції
Функція може бути задана аналітично, графічно, таблицею й алгоритмом.
1.Аналітичний спосіб. Функція задається формулою (формулами) або рівнянням, що зв’язує аргумент x та залежну змінну y. Під областю
визначення мають на увазі сукупність значень аргументу, для яких аналітичний вираз має зміст і набуває дійсних значень (ОДЗ).
Наприклад, 1) y = x2 + 2;
2x −1, якщо x <1, 2) y =
x2 + 3, якщо x ≥1;
3) 2x − 3y + 1 = 0.
2. Графічний спосіб. Задається графік функції, тобто множина точок площини з координатами (х, f(x)).
3. Табличний спосіб. Задається таблиця певних значень аргументу та відповідних їм значень функції.
4. Алгоритмічний спосіб. Задається алгоритм − сукупність арифметичних і логічних операцій, які потрібно здійснити над аргументом, щоб одержати значення функції.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
7
1.1.2. Деякі типи функцій
Монотонні функції
Нехай на множині Х задана функція y = f(x). Якщо для всіх x1, x2 X з умови x1 < x2 випливає нерівність f(x1) < f(x2) (більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції), то функція називається монотонно зростаючою (рис. 1.1 а), якщо ж виконується нерівність f(x1) > f(x2), то функція називається монотонно спадною (рис. 1.1 б).
y |
|
|
|
y |
|
|
f(x2) |
|
f(x1) |
|
|
f(x1) |
|
|
|
f(x2) |
|
|
|
|
|
||
x1 |
x2 |
x |
x1 |
x2 |
x |
а) зростаюча |
|
|
б) спадна |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
f(x1) |
f(x2) |
|
|
f(x1) |
f(x2) |
x1 |
x2 |
x |
x1 |
x2 |
x |
в) неспадна г) незростаюча
Рис. 1.1. Монотонні функції
Якщо з умови x1 < x2 випливає нерівність f(x1) ≤ f(x2), то f(x) нази-
вається неспадною (рис. 1.1 в), а при f(x1) ≥ f(x2) − незростаючою
(рис. 1.1 г).
Функція називається кусково-монотонною, якщо область визначення можна розбити на інтервали, у межах яких вона змінюється монотонно.
Наприклад, функція y = sin x є монотонно зростаючою на інтер-
валах x (−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn) і монотонно спадною на інтервалах x (π/2 +2πn; 3π/2 + 2πn) (n Z).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
8
Парні та непарні функції
Множина Х називається симетричною множиною, якщо x X існує (−x) X.
Функцію f(x), визначену на симетричній множині Х, називають парною, якщо для всіх x X виконується рівність f(−x) = f(x), і непарною, якщо f(−x)= − f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі Oу, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад 1.2. y = sinx – непарна, y = cosx – парна функція.
Властивості парних і непарних функцій
•добуток двох парних або двох непарних функцій є функцією
парною;
•добуток непарної функції на парну є функцією непарною;
•кожну функцію, задану на симетричній множині, можна подати у вигляді суми парної та непарної функцій:
y = f (x) = 12 [f (x) + f (−x)]+ 12 [f (x) − f (−x)].
Сума в перших дужках є парною функцією, а в других – непарною.
Періодичні функції
Функція f(x) називається періодичною, якщо існує таке число T ≠ 0, що f(x ± T) = f(x) для всіх x X. Найменше число Т, що має таку властивість, називається основним періодом функції.
Приклад 1.3. sin x, cos x T = 2π; tgx, ctgx T =π.
Обмежені та необмежені функції
Нехай функція y = f(x) задана на множині Х.
Якщо існує таке число М, що f(x) ≤ M для всіх x X, то кажуть, що f(x) обмежена зверху (рис. 1.2 а). Якщо число M не існує, то ка-
жуть, що f(x) необмежена зверху.
Якщо існує таке число m, що f(x) ≥ m для всіх x X, то кажуть, що f(x) обмежена знизу (рис. 1.2 б). Якщо число m не існує, то ка-
жуть, що f(x) необмежена знизу.
Якщо існує таке число c > 0, що | f(x)| ≤ c для всіх x X, то кажуть, що f(x) обмежена (рис. 1.2 в). Обмеженість функції означає її обмеженість зверху і знизу.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
9
y |
y = M |
y |
y |
|
|
|
y = c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = m |
|
|
|
x |
x |
y = –c |
x |
|
|
|||
а) обмежена зверху |
б) обмежена знизу |
в) обмежена |
|
|
Рис. 1.2
Приклад 1.4. y = lnx – необмежена функція.
Приклад 1.5. y = x2 – необмежена зверху, обмежена знизу (m = 0). Приклад 1.6. y = cosx – обмежена функція, оскільки cosx ≤1 (c =1).
Складна функція
Нехай Х – область визначення функції ϕ(x), U – область визначення функції f(u). Якщо множина значень функції ϕ(x) укладається в область визначення функції f(u), то функція y = f [ϕ(x)] називається
складною функцією від x (композицією, суперпозицією функцій, або функцією від функції).
Приклад 1.7. Функцію y = 
1 − x2 можна подати у вигляді y = 
u,
де u =1 − v, v = x2. X : x ≤1.
Обернена функція
Нехай на множині Х задана функція y = f(x) із множиною значень Y. Якщо кожному y Y відповідає єдине значення x X, які зв’язані формулою ϕ(y) = x, то кажуть, що на Y задана функція x = ϕ(y) = f −1(y), обернена до функції y = f(x). При цьому функції y = f(x) і x = ϕ(y) називають взаємно оберненими і кажуть, що y = f(x) здійснює взаємно однозначне відображення X ↔ Y.
Для знаходження оберненої функції досить розв’язати рівняння y = f(x) відносно x (якщо це можливо).
Приклад 1.8. Для функції у = lnx оберненою є функція x = ey. Не кожна функція має обернену.
Достатня ознака існування оберненої функції. Для того щоб існувала функція, обернена до функції y = f(x), досить, щоб f(x) монотонно зростала (спадала). У цьому випадку обернена функція також монотонно зростає (спадає).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
10