Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2826 27 28 > Следующая >>>

Підставимо y* , y′* і			y′′*		у вихідне рівняння:
		e x (2B + 2(B				0	+ 2B x) + (B		0	x + B x2 )) −
			1					1		1
− 7e x (B	0	+ 2B x + (B		0	x + B x			2 )) + 6(B	0	x + B x2 )e x	= (x − 2)e x .
		1					1			1

Після скорочень дістанемо рівняння:

−10B1x + 2B1 − 5B0 = x − 2.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x :

x1 :			−10B1 = 1,				звідси B1 = −	1	,	B0 =	9	.
			2B		− 5B	= −2,
x	0	:						10			25
				1	0

Загальний розв’язок вихідного рівняння:

	9		x	2
y = C1ex + C2e6x +		x −			ex .

	25	10

12. Розв’яжіть задачу Коші

y′′ − 5y′ + 6y = 13sin 3x, y(0) = 1, y′(0) = 0 .

Розв’язання. Характеристичне рівняння	k 2 − 5k + 6 = 0 має корені
k1 = 2, k2 = 3 . Тоді e2x , e3x — фундаментальна система.
Загальний розв’язок однорідного рівняння	y′′ − 5y′ + 6y = 0 такий:

y = C1e2x + C2e3x .

Праву частину даного рівняння можна записати у вигляді

13sin 3x = e0 x (0 cos 3x + 13sin 3x),

тобто контрольне число правої частини z = 0 +3i = 3i, крім того, для даного випадку у формулі (3.29) Pn (x) = 0, Qm (x) =13. Оскільки z = 3i не є

коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо у вигляді

y* = A0 cos 3x + B0 sin 3x .

Знаходимо похідні:

y′* = −3A sin 3x + 3B	0	cos 3x,	y′′* = −9A cos 3x − 9B	0	sin 3x.
0	0		0	0

251

Підставивши значення y* , y′* і y′′* у вихідне рівняння, дістанемо після належних перетворень співвідношення

−3(A0 + 5B0 ) cos 3x + 3(5A0 − B0 ) sin 3x = 13sin 3x.

Прирівняємо коефіцієнти при sin 3x					і cos 3x :
−3(A0	+ 5B0 ) = 0			A0 =			5	, B0	= −	1	.
	− B0 ) = 13
							6			6
3(5A0							6			6
Отже,		5			1
y* =		5	cos 3x −		1	sin 3x —
y* =			cos 3x −		6	sin 3x —
	6				6

частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Загальний розв’язок даного рівняння запишеться так:

y = y + y* = C1e2x + C2e3x + 16 (5 cos 3x − sin 3x).

Переходимо до конкретизації сталих C1 і C2 . Умова y(0) =1 набуває вигляду

1 = C

Оскільки

′ = 2C e2x +

e3x −

(5sin 3x +cos 3x),

то умова y ′(0) = 0

рівносильна рівнянню 0 = 2C1 +3C2 −0,5.

Розв’язавши лінійну систему

+C2

=1,

−0,5 = 0,

2C +3C

дістанемо C1 = 0, C2 = 16 .

Таким чином, розв’язок задачі Коші має вигляд:

y= 16 e3x + 16 (5cos 3x − sin 3x).

13.Запишіть загальний вигляд частинного розв’язку рівняння

y′′ − 4 y′ + 20y = xe2x sin 4x.

252

Розв’язання. Характеристичне рівняння k2 − 4k + 20 = 0 має пару ком-

плексно-спряжених коренів k1,2 = 2 ± 4i .			Контрольне число правої части-
ни — значення z = 2 + 4i (α = 2, β = 4),			яке збігається з коренем характе-
ристичного рівняння. Тому r = 1		і частинний			розв’язок слід шукати у
вигляді
y* = xe2x ((A x + B ) cos 4x + (A x + B )sin 4x).
1	1			2	2
14. Запишіть загальний вигляд частинного розв’язку рівняння
y′′ − 2y′ + 5y = e x cos 2x + sin 2x + x .
Розв’язання. Характеристичне рівняння				k2 −2k +5 = 0 має пару ком-
плексно-спряжених коренів k1,2	=1± 2i . Частинний розв’язок даного рівнян-
ня шукають у вигляді y* = y*	+ y*	+ y* , де		y* = xex (A cos 2x + B sin 2x) —
1	2	3		1
частинний розв’язок рівняння	y′′ − 2 y′ + 5y = ex cos 2x (контрольне число
z =1+2i є коренем характеристичного рівняння),					y2* = C cos 2x + D sin 2x —

частинний розв’язок рівняння y′′ − 2y′ + 5y = sin 2x (контрольне число

z = 2i	не є коренем характеристичного рівняння),						y3* = Mx + N	— частин-
ний розв’язок рівняння y′′ − 2y′ + 5y = x			(контрольне число z = 0 не є ко-
ренем характеристичного рівняння), де A, B, C, D, M , N — невідомі сталі.
12. Знайдіть загальний розв’язок рівняння
		y′′ + 5y′ + 6 y =			1	.
			1+ e2x
Розв’язання. Характеристичне рівняння k 2 + 5k + 6 = 0								має корені
k1 = −2	і	k2 = −3 . Отже, загальний	розв’язок				однорідного рівняння
y′′ + 5y′ + 6y = 0 має вигляд
		y = C e−2x + C		2	e−3x .
		1
Функція		f (x) = 1/(1 + e2x ) не належить до вигляду (3.29). Тому застосу-

ємо метод Лагранжа, згідно з яким розв’язок рівняння шукаємо у вигляді

(3.31):

y = C1 (x)e−2x + C2 (x)e−3x .

253

Оскільки

= e−2x , y

= e−3x ,

y′

= −2e−2x

, y

′

= −3e−3x ,

то для відшу-

кання функцій C1 (x) і C2 (x)

складаємо і розв’язуємо систему рівнянь

вигляду (3.32):

−2x

−3x

= 0,

C ′e

+C ′e

C ′(−2e−2x ) +C

′

(−3e−3x ) =

;

1+e

e−2x

e−3x

= −e−5x ,

1 =

e−3x

= −

e−3x

−3e−3x

−2e−2x −3e−3x

+ e2x

1+ e2x

e−2x

−2x

− 2e

−2x

; C′

, C

′ = −

;

1+ e

1+ e2x

= ∫

e2x

dx =

∫

d(e2x + 1)

ln(1

+ e

)

+ C3;

+ e

+ 1

= −

e3xdx

= t

= −

t2dt

= −(t − arctgt) + C

= − (ex − arctg ex ) + C .

∫1+ e2x

exdx = dt

∫1+ t2

Отже,

y = e−2x

ln(1+e2x ) +C

−e−3x

−arctg ex +C

—

загальний розв’язок даного рівняння, де C3 ,C4

— довільні сталі.

Т.3

ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайдіть загальні розв’язки однорідних рівнянь.

1. y′′ − 3y′ + 2 y = 0 .

2. y′′ − 6 y′ + 8y = 0 .

3. y′′ − 2y′ + y = 0 .

4. y′′ + 4y′ + 4y = 0 .

y′′ − 2y′ + 2y = 0 .

y′′′ − y′′ − y′ + y = 0 .

y′′ + y′ + y = 0 .

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 .

y′′′ + y = 0 .

10.

y (4)

+ y = 0 .

254

11.	y (4)	+ 5y′′ + 4 y = 0 .	12. y (5) + 8y′′′ + 16 y′ = 0 .
13.	y (5)	− 5y (4) + 12 y′′′ − 16 y′′ + 12 y′ − 4 y = 0 .

Знайдіть загальні розв’язки неоднорідних рівнянь.

14. y′′ − 7 y′ + 12 y = 5 .	15. y′′ − 7 y′ + 6y = sin x .
16. y′′ + y′ + y = 3e2x .	17. y′′ + 2 y′ − 3y = 4e− x .
18. y′′ − 8y′ + 7 y = 3x2 + 7x + 8 .	19. y′′ − 2y′ + 4 y = (x + 2) e3x .

20.y′′ − 2y′ = x3 + 2x − 1 .

21.y′′ − 6 y′ + 25y = 2 sin x + 3 cos x .

22.y′′ + 2y′ + 5y = 4 sin x + 22 cos x .

23.y′′ + y = (3x + 2) sin 2x + (x 2 + x + 2) cos 2x .

	24.	y′′ + 4 y = sin 2x .															25.			y′′′ − y′′ = −3x + 1 .
	26.	y′′ − 2y′ + y = 4e x .															27.			y′′ + y = xe x									+ 2e− x .
	Знайдіть загальні розв’язки неоднорідних рівнянь методом варіації до-
вільних сталих.
	28.	y′′ + y =			1		.										29.		y′′ − y′ =						2 − x					e x .
				sin x																							x3
	Розв’яжіть задачі Коші.
	30.	y′′+ 4 y′+ 4 y = 3e−x , y(0) = y′(0) = 0 .
	31.	y′′+ 4 y = sin 2x ,								y(0) = y′(0) = 0 .
														Відповіді
	1. y = C1ex + C2e2x . 2. y = C1e2x + C2e4x . 3. y = C1ex + C2xex . 4. y = (C1 + C2x)e−2x .
5.							x		6.			x		x		−x		. 7.										3				3	− 12 x
	y = (C1 cosx+C2 sinx)e							.		y = C1e				+ C2xe	+ C3e					y = C1 cos									x + C2 sin				x e .
	y = (C1 cosx+C2 sinx)e							.		y = C1e				+ C2xe	+ C3e					y = C1 cos									x + C2 sin				x e .
																											2					2
																											2					2
	y = C1ex + C2 xex + C3x2ex .									9. y = C1e−x +								3								3					x			2	x
8.															C2 cos					x + C3 sin								x	e2 . 10. y = e 2							×
8.															C2 cos					x + C3 sin								x	e2 . 10. y = e 2							×
																		2						2
																		2						2
		2					2				2					2						2
		2					2				−	2	x			2						2
×	C cos		x + C	2	sin				x	+ e				C cos			x	+ C		4	sin		x .							11. y = C sin x +
	1	2		2		2								3		2				4		2										1
		2				2										2						2

255

+ C2 cos x + C3 sin 2x + C4 cos 2x .									12.			y = C1 + (C2 + C3x) cos 2x + (C4 + C5x)sin 2x .
13.	y = C1ex + C2ex cos x + C3ex sin x + C4xex cos x + C5xex sin x . 14. y = C1e3x + C2e4x +																														5			.
13.																																		.
																															12
15.	y = C1ex + C2e6x +			7			5				16. y = e−				1	x (C cos	3						3						3	e2x .
				7	cos x +		5		sin x .						2		3	x + C sin					3		x) +				3
					cos x +				sin x .						2			x + C sin							x) +
			74			74									1		2	2					2					7
			74			74											2						2					7
17.	y = C e x + C	2	e−3x − e − x .										18.	y = C1ex + C2e7 x +					3	x2 +			97		x +			1126					.
17.	y = C e x + C		e−3x − e − x .										18.	y = C1ex + C2e7 x +						x2 +					x +								.
	1																	7					49					343
	y = (C1 cos 3x + C2 sin					3x)e								10				7					49					343
19.								x	+ e	3x		1	x +	10	. 20. y = C1			+ C2e			2x	−	1	x		4	−	1		x	3	−

												7											8					4
												7		49									8					4

14cos x + 5sin x

y = 3sin x + 4cos x +

−

x . 21. y = e

(C1 cos 4x + C2 sin 4x) +

. 22.

102

+(C cos2x + C sin 2x)e− x .

23. y = C cos x + C sin x −

9x2 + 9x + 28

cos2x −

x + 2

sin 2x .

24. y = C1 cos 2x + C2 sin 2x −

x cos 2x .

25.

y = C ex + C

+ C x +

x3 + x2 . 26. y =

= (C1 + C2x)ex + 2x2ex.

27.

y = C1 cos x + C2 sin x + e− x +

(x −1)ex . 28.

y = (C1 + ln

sin x

)×

+ C1 + C2ex .

×sin x + (C2 − x)cos x .

29.

y =

30. y =1,5x2e−2x . 31.

y = −

cos 2x +

+ 18 sin 2x .

Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

3.1. Знайдіть загальні розв’язки лінійних однорідних рівнянь.

3.1.1.а) y′′ + y′ − 2y = 0 ;

3.1.2.а) y′′ − 4 y′ = 0 ;

3.1.3.а) 2y′′ − y′ − y = 0 ;

3.1.4.а) y′′ + 6 y′ + 13y = 0 ;

3.1.5.а) 2y′′ − 3y′ − 5y = 0 ;

3.1.6.а) y′′ − 9y = 0 ;

3.1.7.а) y′′ − 2y′ − 3y = 0 ;

3.1.8.а) 4y′′ + 4 y′ + 5y = 0 ;

3.1.9.а) 4y′′ − 8y′ + 5y = 0 ;

3.1.10.а) y′′ − 4y′ + 5y = 0 ;

3.1.11.а) y′′ − 4y′ + 29 y = 0 ;

б) y′′ − 2y′ + 5y = 0 . б) y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 . б) y′′ − 2y′ + 10 y = 0 . б) y′′ − 4y′ + 4y = 0 . б) y′′ + 2y′ + 10y = 0 .

б) 3y′′ + 12 y′ + 15y = 0 .

б) 3y′′ − 4y′ + 4 y = 0 . б) y′′ + 8y′ + 16 y = 0 . б) y′′ − 8y′ + 20 y = 0 . б) y′′ − 6 y′ + 8y = 0 .

б) y′′ − 7 y′ + 10y = 0 .

256

3.1.12.а) 4y′′ − 4 y′ + y = 0 ;

3.1.13.а) y′′ + 7 y′ + 12y = 0 ;

3.1.14.а) y′′ + 2y′ − 8y = 0 ;

3.1.15.а) 4y′′ − 12y′ + 9y = 0 ;

3.1.16.а) y′′ + y′ + y = 0 ;

3.1.17.а) y′′ + 3y′ + 2y = 0 ;

3.1.18.а) y′′ + 5y′ + 4y = 0 ;

3.1.19.а) y′′ − 7 y′ + 6 y = 0 ;

3.1.20.а) y′′ + 9 y′ + 8y = 0 ;

3.1.21.а) y′′ − 5y′ + 4y = 0 ;

3.1.22.а) y′′ + 4y′ + 13y = 0 ;

3.1.23.а) y′′ − 2y′ + 10 y = 0 ;

3.1.24.а) y′′ − 10 y′ + 9 y = 0 ;

3.1.25.а) y′′ − 12 y′ + 11y = 0 ;

3.1.26.а) 2y′′ − 3y′ + y = 0 ;

3.1.27.а) y′′ − 6y′ + 5y = 0 ;

3.1.28.а) y′′ + 7 y′ − 8y = 0 ;

3.1.29.а) 5y′′ + 2 y′ − 7 y = 0 ;

3.1.30.а) 3y′′ − 5y′ − 8y = 0 ;

б) y′′ + 2y′ + 5y = 0 . б) 4y′′ + 4 y′ + y = 0 . б) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0 . б) 5y′′ − 6y′ + 5y = 0 . б) y′′ − 4y′ = 0 .

б) y′′ − 4y′ + 4y = 0 .

б) 9y − 12 y′ + 4y = 0 .

б) y′′ − 6y′ + 9y = 0 . б) y′′ − 10y′ + 25y = 0 . б) y′′ + 4y = 0 .

б) y′′ − 6y′ + 9y = 0 .

б) y′′ − 12y′ + 36 y = 0 . б) y′′ + 4 y′ + 13y = 0 . б) y′′ − 2y′ + y = 0 .

б) 25y′′ − 10 y′ + y = 0 . б) 4y′′ − 12y′ + 9y = 0 . б) 36y′′ − 12y′ + y = 0 . б) 16y′′ − 8y′ + y = 0 .

б) 8y′′ − 4y′ + y = 0 .

3.2. Знайдіть загальні розв’язки лінійних однорідних рівнянь.

3.2.1. y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 .	3.2.2. y(4)	+ 16 y = 0 .
3.2.3. y′′′ − 2y′′ + y′ − 2 y = 0 .	3.2.4. y (4)	+ 5y′′ + 4 y = 0 .
3.2.5. y′′′ + 2y′′ + 4y′ + 8y = 0 .	3.2.6. y(4)	+ 8y′′ − 9y = 0 .
3.2.7. y′′′ − 4y′′ + 5y′ − 2y = 0 .	3.2.8. y (4)	+ 4 y′′ + 4 y = 0 .
3.2.9. y′′′ − 3y′′ − y′ + 3y = 0 .	3.2.10. y′′′ + 5y′′ + 7 y′ + 3y = 0 .
3.2.11. y (4) − 3y′′′ + 3y′′ − 3y′ + 2 y = 0 .	3.2.12. y′′′ − y′′ − 4y′ + 4 y = 0 .
3.2.13. y′′′ + 9y′′ + 27 y′ + 27 y = 0 .	3.2.14. y(4)		− 13y′′ + 36 y = 0 .
3.2.15. y′′′ − 4y′′ + y′ + 6 y = 0 .	3.2.16. y(4)		+ 2 y′′′ − 2 y′ − y = 0 .
3.2.17. y′′′ + 3y′′ − 9y′ − 27 y = 0 .	3.2.18. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 .
3.2.19. y′′′ + 2y′′ − 4y′ − 8y = 0 .	3.2.20. y(4)		+ 3y′′′ + 3y′′ + y′ = 0 .
3.2.21. y′′′ − 6 y′′ + 12 y′ − 8y = 0 .	3.2.22. y(4)		− 3y′′′ − y′′ + 3y′ = 0 .

257

3.2.23.	y(4)	− 2 y′′′ + 2 y′′ − 2 y′ + y = 0 .	3.2.24. y (4)	− 7 y′′′ + 6 y′′ = 0 .
3.2.25.	y′′′ + 3y′′ − 4y′ − 12y = 0 .		3.2.26. y(4)	− 2y′′′ + 2y′′ = 0 .
3.2. 27.	y(4)	+ 2 y′′′ + 2y′′ + 2 y′ + y = 0 .	3.2.28. y(4)	− 3y′′ − 4y = 0 .
3.2.29.	y (4)	− y′′′ − 3y′′ + y′ + 2 y = 0 .	3.2.30. y′′′ − 2y′′ + 9y′ − 18y = 0 .

3.3. Знайдіть загальні розв’язки лінійних неоднорідних рівнянь із правою частиною спеціального вигляду.

3.3.1.	y′′ − 2 y′ + y = xe x .
3.3.3.	y′′ − 6 y′ + 9 y = e x sin x .
3.3.5.	y′′ − 6 y′ + 9 y = 2x2 − 2x + 3 .
3.3.7.	y′′ + 4 y′ + 5y = x2 + 3 .
3.3.9.	y′′ + 2 y′ = 2 + x − x2 .
3.3.11.	y′′ + 4y′ + 4 y = e−2x + e x .
3.3.13.	y′′ + y′ = e− x + x + 1 .
3.3.15.	y′′ + y′ − 2 y = e x cos x .
3.3.17.	y′′+ 4y = cos 2x .
3.3.19.	y′′ − 2 y′ + 2 y = e x sin 2x .
3.3.21.	y′′ − 2 y′ + y = e x .
3.3.23.	y′′ + 4 y′ − 5y = xe x .
3.3.25.	y′′ + 2 y′ + 2 y = (x + 1)e x .
3.3.27.	y′′ + 4 y′ + 3y = e− x + x2 .
3.3.29.	y′′ − 3y′ + 2 y = e2x .

3.3.2.	y′′ + y = x sin x .
3.3.4.	y′′+ 2 y′+5y = ex sin 2x .
3.3.6.	y′′ − 2 y′ + 2 y = e x cos x .
3.3.8.	y′′ − 3y′ + 2y = 2xe x .

3.3.10.4 y′′ − 16 y′ + 15y = e1,5x .

3.3.12.y′′ − y′ = 2x2 .

3.3.14.y′′ + 2y′ + 10 y = xe− x .

3.3.16.y′′ + 2 y′ + y = e− x + sin x .

3.3.18.y′′ + 9 y = xe3x .

3.3.20.	y′′ + 9 y = e3x .
3.3.22.	y′′ − 3y′ = 1 − 2x − x2 .
3.3.24.	y′′ − 4 y′ + 4 y = e2x .
3.3.26.	y′′ + 2y′ + 5y = cos x .
3.3.28.	y′′ + 4y′ + 8y = cos 2x .
3.3.30.	y′′ − 8y′ = sin 4x + x .

3.4. Розв’яжіть задачі Коші для рівнянь другого порядку.

3.4.1.y′′ + 4y′ + 8y = sin 4x ,

3.4.2.y′′ − 3y′ + 2y = e x ,

3.4.3.y′′ + y′ + y = cos 2x ,

3.4.4.y′′ − 4y′ + 3y = x2 − 3x ,

3.4.5.y′′ + 2 y′ + 5y = e2x ,

3.4.6.y′′ − 10 y′ + 9 y = xex ,

3.4.7.y′′ − 4 y′ + 4 y = e2x ,

y(0) = 0 ,	y′(0) = 1.
y(0) = 2 ,	y′(0) = 1.
y(0) = −1,	y′(0) = 3 .
y(0) = 2 ,	y′(0) = 4 .
y(0) = 0 ,	y′(0) = 0 .
y(0) = 1 ,	y′(0) = 0 .
y(0) = 1 ,	y′(0) = 1.

258

3.4.8.y′′ − 2y′ + 2 y = 3x − 2 ,

3.4.9.y′′ + 5y′ − 6y = e4x ,

3.4.10.y′′ + 2 y′ + 10 y = x2 − 4 ,

3.4.11.y′′ − 4 y′ = x2 − 5x + 2 ,

3.4.12.y′′ − 2 y′ + y = ex ,

3.4.13.y′′ + 9y = sin 3x ,

3.4.14.y′′ + 2 y′ + 2 y = e x sin 3x ,

3.4.15.y′′ + 2 y′ + y = e− x ,

3.4.16.y′′ + y′ − 2 y = e2x sin x ,

3.4.17.y′′ + 6y′ + 9 y = e−3x ,

3.4.18.y′′ + 4y′ + 5y = e2x ,

3.4.19.4 y′′ − 16 y′ + 15y = x2 − 1,

3.4.20.4 y′′ + 4 y′ + 5y = xe x ,

3.4.21.y′′ − 3y′ + 2 y = e2x ,

3.4.22.y′′ + 4y′ + 5y = x2 + 2x ,

3.4.23.y′′ − 2y′ + 2 y = e x cos x ,

3.4.24.y′′ − 6y′ + 9y = 2x2 + 5 ,

3.4.25.2y′′ − y′ − y = ex + x ,

3.4.26.y′′ − 2y′ + 10 y = cos x ,

3.4.27.4y′′ − 8y′ + 5y = xex ,

3.4.28.3y′′ − 12y′ + 4y = ex sin2x ,

3.4.29.y′′ − 4 y′ = 2x2 + 3x − 1 ,

3.4.30.y′′ − 8y′ + 16 y = e4x ,

y(0) = −2 ,	y′(0) = 2 .
y(0) = 3 ,	y′(0) = 2 .
y(0) = 0 ,	y′(0) = 4 .
y(0) = 0 ,	y′(0) = −1 .
y(0) = 3 ,	y′(0) = 5 .
y(0) = 2 ,	y′(0) = −1 .
y(0) = 1 ,	y′(0) = 3 .
y(0) = 4 ,	y′(0) = 0 .
y(0) = −5 ,	y′(0) = 1.
y(0) = −3 ,	y′(0) = 2 .
y(0) = 2 ,	y′(0) = 6 .
y(0) = 3 ,	y′(0) = −1 .
y(0) = 4 ,	y′(0) = −1 .
y(0) = 1 ,	y′(0) = 0 .
y(0) = 1 ,	y′(0) = 4 .
y(0) = 2 ,	y′(0) = −5 .
y(0) = 0 ,	y′(0) = 3 .
y(0) = 0 ,	y′(0) = 0 .
y(0) = −1,	y′(0) = −3 .
y(0) = 2 ,	y′(0) = −4 .
y(0) = 1 ,	y′(0) = 5 .
y(0) = 6 ,	y′(0) = −2 .
y(0) = 3 ,	y′(0) = 8 .

3.5. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод Лагранжа.

3.5.1.

y′′ − 2 y′ + y =

3.5.2.

y′′ − 2y′

+ y =

2x + 1

+ 4

3.5.3. y′′ − 4y′ + 3y = ln(1+ e− x ) .

3.5.4. y′′ + 4 y = tg2 2x .

3.5.5.

y′′ − 3y′ + 2y =

e2x

3.5.6.

y′′ + y =

(1 + e x )2

cos3 x

259

3.5.7. y′′ − 4 y′ + 4 y = e2x ln(x2 + 1) .

3.5.9.

y′′ + 4 y =

+ cos2

3.5.11.

y′′ +

y =

sin2 x + 2

3.5.13. y′′ − 2y′ + 2 y = ex tg x .

3.5.15.

y′′ −

2y′ +

2y =

e x

sin x

3.5.17.

y′′ − 4 y′ +

5y =

e2x sin x

sin2

x + 1

3.5.19. y′′ − 4y′ + 5y =

1 + sin 2 x

3.5.21.

y′′ +

2y′ + y =

− x

−

3.5.23. y′′ + 3y′ + 2y = cos(e x ) .

3.5.25. y′′ + 5y′ + 6y = e− x ln(1 + e x ) .

3.5.27. y′′ + 2y′ + y = e− x ln x .

3.5.29. y′′ + 9y = cos 3x . sin2 3x + 1

3.5.8. y′′ + 2y′ + y = e− x ln(x2 + 4) .

3.5.10. y′′ + y =	1		.
	sin 3
		x
3.5.12. y′′ − y =	e3x
				.

	1− e2x
3.5.14. y′′ − 2y′ =		e3x
		.
	1 − e2x

3.5.16. y′′ − 3y′ + 2y = sin(e− x ) .

3.5.18. y′′ − 4y′ + 4y = x +x1 e2x .

3.5.20. y′′ + 2 y′ + y = e− x arctg x .

3.5.22. y′′ − 3y′ + 2y =				e x
						.

			e x + 1
3.5. 24.	y′′ + 4y′ + 3y = arctg(ex ) .
3.5.26.	y′′ + y =	sin x			.

		cos2 x − 2
3.5.28. y′′ + 2 y′ + y = 3				xe− x .
3.5.30. y′′ − 2y′ + y = ex				1− x .

Тема 4. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Нормальна система диференціальних рівнянь. Методи виключення та інтегровних комбінацій розв’язання систем диференціальних рівнянь у нормальній формі. Системи диференціальних рівняньзісталимикоефіцієнтами. Узагальненийметод Ейлера.

Література: [2, розділ 3, п. 3.3], [3, розділ 8, § 6], [4, розділ 8, § 26], [6, розділ11, п. 11.5], [7, розділ13, § 29—30], [8, 2 част., § 6].

260

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2826 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20196.01 Mб39(Т3укр)м(Л14).doc
#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx