Часть1

действующие на систему внешние силы: силы тяжести P1 , P2 , P3 и реакцию

Проведем координатные оси Oxy так, чтобы ось y проходила через точку C30, где находился центр масс плиты в момент времени t0=0.

а) Определение перемещения x3(t) (вторая задача динамики). Для

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно x1 = x3 − R cosϕ1, x2 = x3 + r sin ϕ2 . Подставляя эти выражения в

Всоответствии с уравнением (4), приравниваем правые части (6) и (7):

−m1R + m2r = (m1 + m2 + m3 )x3 − m1R cos(πt) + m2r cos(πt2).

Отсюда получаем зависимость от времени координаты x3.

Ответ: x3 = 0,09[3cos(πt) − 2cos(πt2)−1] м, где t – в секундах.

б) Определение реакции N (первая задача динамики). Для определения

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени ординаты грузов равны соответственно y1 = H + Rsin ϕ1 , y2 = H − r cosϕ2 , а y3 = H = OC30 = const .

81

Подставляя эти выражения в формулу (10) и учитывая заданные зависимости ϕ1 и ϕ2 от t, получим

M yC (t) = (m1 + m2 + m3 )H + m1Rsin(πt) − m2r cos(π2 − πt2) или M yC (t) = (m1 + m2 + m3 )H + m1Rsin(πt) − m2r sin(πt2).

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени,

найдем M &y&C = −m1Rπ2 sin(πt) + m2r(π2 4)sin(πt2).

Подставив это значение M &y&C в уравнение (9), определим искомую зависимость N от t.

Ответ: N = 254,8 −1,2π2 [6sin(πt) − sin(πt2)], где t – в секундах, N – в

ньютонах.

Задача Д3 (тема: “Теорема об изменении кинетического момента

системы относительно оси”)

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или

отстоящей от центра масс C платформы на расстояние OC = b (рис. Д3.0-Д3.9, табл. Д3); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д3.0а (вид сверху).

В момент времени t0 = 0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m2 = 8 кг по закону s = AD = F (t) ,

где s выражено в метрах, а t – в секундах. Одновременно на платформу начинает действовать пара сил с моментом M (задан в Ньютоно-метрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунке).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость ω = f (t), т.е. угловую

скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0 , груз находится по другую сторону от точки A). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C .

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Теорема об изменении кинетического момента системы». Ответьте на вопросы:

8.Вычисление моментов количества движения материальной точки относительно неподвижного центра и неподвижной оси.

9.Определения: кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси.

10.Сформулируйте теоремы об изменении кинетических моментов механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси, запишите соответствующие уравнения.

11.Чему равен кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения?

82

12.Что такое момент инерции твердого тела относительно оси? Что такое радиус инерции?

13.Сформулируйте теорему о моментах инерции относительно параллельных осей.

14.Запишите дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

83

84

85

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

(краткие сведения из теории)

Основные понятия

Количество движения (импульс) точки – это вектор, равный mV , где m – масса точки, V – абсолютная скорость точки.

Момент количества движения точки относительно какой-либо оси z mz (mV ) определяется так же, как момент силы относительно оси z mz (F ) ; в частности, mz (mV ) = 0 если вектор V параллелен z или прямая, на которой

расположен вектор V , пересекает ось z.

Кинетический момент системы K z относительно какой-либо оси z равен

(алгебраической) сумме моментов количеств движения точек относительно этой оси:

– момент инерции тела относительно оси z; здесь mk – масса точки тела, hk –

расстояние от этой точки до оси z.

Момент инерции тела зависит от формы тела и положения оси z. Значения J z для однородных тел простой формы (кольцо, стержень, диск,

прямоугольник, цилиндр и т. д.) приводятся в справочниках по механике; значения J z , необходимые для решения данной задачи, приведены ниже в

указаниях к решению.

Если задан радиус инерции ρ тела, то J z = Mρ2 , где M – масса тела. Теорема Гюйгенса (теорема о моментах инерции относительно

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси

Формулировка: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси z равна (алгебраической) сумме моментов внешних сил относительно этой оси; математическая запись:

86

– дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела; здесь

ε = ω& – угловое ускорение тела.

Указания. Задача ДЗ – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент Kz системы

относительно оси z определяется как алгебраическая сумма кинетического момента платформы и момента количества движения груза. При этом следует учесть, что количество движения груза равно произведению его массы на

абсолютную скорость Vабс , которая складывается из относительной Vотн и

ния момента количества движения груза D mz (mVабс ) можно воспользоваться

Пример ДЗ. Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами 2l и l ), имеющая массу m1, жестко скреплена с вертикальным

валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угловой скоростью ω0 (рис. ДЗа). В момент времени t0 = 0 на вал начинает действовать пара сил с вращающим моментом M = −kt (на рис. Д3 отрицательный знак M уже учтен в

Определить: w = f (t) – закон изменения угловой скорости платформы.

Рис. Д3

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D . Для определения угловой скорости ω применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести P1, P2 , реакции подпятника RE , подшипника RH и вращающий момент M . Так как силы P1 и P2 параллельны оси z , а реакции RE и RH эту ось пересекают, то

их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление ω0 (т.е. против хода часовой стрелки), получаем

åmz (Fke ) = M = − kt ,

иуравнение (1) принимает вид:

где Kzпл и KzD – кинетические моменты относительно оси z платформы и груза D соответственно.

Поскольку платформа вращается вокруг оси z, то ее кинетический момент равен произведению момента инерции относительно оси z на угловую скорость:

где JCz – момент инерции платформы относительно оси Cz, параллельной оси z и проходящей через центр масс платформы C .

Момент инерции JCz относительно оси, проходящей через центр масс платформы перпендикулярно ее плоскости, равен:

движением, а вращение самой платформы вокруг оси z – переносным

Так как груз D движется по закону s = CD = 0,4t2 , то

υотн = s& = 0,8t .

Изображаем вектор Vотн на рис. Д3б с учетом знака s& (при s& < 0 направление Vотн было бы противоположным).

89

Затем, учитывая направление угловой скорости ω , изображаем вектор переносной скорости Vпер (Vпер ^OD) . Модуль переносной скорости равен

Vпер = w×OD .

Тогда равенство (8) примет вид:

При этом значении C1 из уравнения (12) находим искомую зависимость w от t.

Ответ:

w = 16,34 + 4t - 3t2 , 8,17 +1,6t4

где t – в секундах, w – в с-1.

Задача Д4 (тема: “Теорема об изменении кинетической энергии системы”)

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3 = 0,2 м, блока 4 радиуса R4 = 0,2 м и катка (или подвижного

блока) 5 (рис. Д4.0-Д4.9, табл. Д4); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром (диском), массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу.

90