3. Санау жүйелері

Ондық санау жүйесі. Ондық санау жүйесінде сандарды жазу үшін он цифр қолданылады -0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ондық жүйе позициялы болып табылады, өйткені ондық санның жазылуында цифрдың мәні оның позициясына немесе сандағы орнына байланысты.

Санның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды.

Мысалы, 524 санын қосынды түрінде жазсақ:

5*10²+2*10¹+4*10⁰

Бұл жазбадағы 10 саны – санау жүйесінің негізі. Санның әрбір цифры үшін, 10 негізі цифрдың сандағы орнына байланысты дәрежеленеді де, осы санға көбейтіледі.

Егер ондық сан бөлшек болса, онда бөлшек бөліктің әрбір цифры үшін негіздің дәреже көрсеткіші теріс және бөлшек бөліктің үлкен цифры үшін -1-ге, бөлшек бөліктің келесі цифры үшін -2-ге тең және т.с. болады. Мысалы келесі ондық сандар мынадай қосындымен көрсетіледі:

384,9506=3*10²+8*10¹+4*10⁰+9*10^-1+5*10^-2+0*10^-3+6*10^-4.

Екілік санау жүйесі. Екілік жүйеде кез келген сан 0 мен 1 цифрларының көмегімен жазылады да, екілік сан деп аталады.

Екілік сандарды ондық сандарға айналдыру олардың әрбір разрядын (1 немесе 0 санын) тұрған орнына байланысты екінің дәрежелеріне көбейтіп, шыққан сандарды қосу арқылы жүргізіледі.

Мысалы, 11101₂=1*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=16+8+4+1=29₁₀

Керісінше ондық сандарды, екілік сандарға айналдыру үшін сол санды екіге бөлеміз, шыққан бөліндіні тағы екіге бөлеміз, одан шыққан санды да, осылайша бөлінді бірге тең болғанша, біртіндеп екіге бөле береміз. Ең соңғы бөліндіден басталып жазылатын қалдық сандар тізбегі ізделініп отырған екілік санның таңбаларын құрайды.

Мысалы,

29	2
28	14	2
1	14	7	2
	0	6	3	2
		1	2	1
			1

Нәтижесі - 11101₂ деген екілік сан болып шығады.

Сегіздік санау жүйесі. Сегіздік санау жүйесінде, яғни негізі «8» санау жүйесінде сандар сегіз цифрдың көмегімен көрсетіледі:0,1,2,3,4,5,6,7. Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды ондық санау жүйесіне ауыстыру олардың әрбір разрядын тұрған орнына байланысты сегіздің дәрежелеріне көбейтіп, шыққан сандарды қосу арқылы жүргізіледі. Мыс: 84₈=8*8¹+4*8⁰=64+4=68₁₀.

Ондық сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін сол санды сегізге бөлеміз, осылайша бөлінді сегізге тең болғанша біртіндеп бөле береміз.

Оналтылық санау жүйесі. Екілік сандарды қысқарту үшін негізі 16 санау жүйесін қолданады. Бұл жүйені оналтылық деп атайды. Оналтылық позициялы санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін 10,11,12,13,14,15 ондық сандарының мәніне сәйкес латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері: A, B, C, D, E, F қолданылады. Оналтылық сан, мысалы, мына түрде 5АB болуы мүмкін. Бұл санды негізі 16 екенін ескеріп, қосынды түрінде жазсақ:

5АB₁₆=5*16²+10*16¹+11*16⁰=1280+160+11=1451₁₀

Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру. Екілік санды сегіздік немесе оналтылық санға түрлендіру процесі өте қара-пайым. Сегіздік санның кез келген цифрын жазу үшін үш екілік цифр(триада) қажет. Сондықтан түрлендіретін екілік санды оңнан солға қарай үш-үштен екілік цифрлар тобына бөледі, мұнда ең сол жақтағы топта екілік цифрлар үштен кем болуы мүмкін. Мысалы, 011 екілік цифры сегіздік санау жүйесінде үш цифры болып табылады. Сонан кейін екілік цифрлардың әрбір тобын кестеде көрсетілген сегіздік цифр түрінде жазады.

Екілік жүйе	Сегіздік жүйе
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Мысалы, үш екілік цифрдан тұратын топтарға бөлінген 1101111011 екілік санын 1 101 111 011 сияқты жазып алып және әрбір топты бір сегіздік цифрмен ауыстырып жазғаннан кейін,1573 сегіздік санын алуға болады.

Сандарды екілік жүйеден оналтылық санау жүйесіне ауыстыру. Екілік санды оналтылық санау жүйесіне жоғарыдағыға ұқсас түрлендіреді: әрбір түрлендіретін екілік сан оңнан солға қарай әрқайсысында төрттен екілік сан бар топтарға (тетрадаларға) бөлінеді, өйткені оналтылық санның кез келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.

Ондық жүйе	Екілік жүйе	Оналтылық жүйе
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Сондықтан алдыңғы мысалда қолданылған 1101111011 екілік санды төрт екілік цифрлардан тұратын топтарға бөлгеннен кейін, 11 0111 1011 сияқты жазып және әр топты оналтылық цифрмен ауыстырғаннан кейін, 37В оналтылық санын алуға болады.

Студенттің оқытушымен өзіндік жұмыс тапсырмасы. Сұрақтарға жауаптар беріңіз және өз нұсқа нөміріңіз бойынша есептерді шығарыңыз.

 Келесі сұрақтарға жауаптар жазып, ауызша талқылаңыз

1. Санау жүйесі дегеніміз не?

2. Санау жүйесінің түрлері?

3. Позициялық санау жүйесі дегеніміз не?

4. Позициялық емес (римдік) санау жүйесі дегеніміз не?

5. Буль алгебрасы дегеніміз не?

6. Позициялық санау жүйелерін атаңыз

7. 2-лік санау жүйелерінің сандары?

8. 8-дік санау жүйелерінің сандары?

9. 10-дық санау жүйелерінің сандары?

10. 16-лық санау жүйелерінің сандары?

11. Санау жүйелеріне қолданылатын амалдар?

Нұсқа нөмірі	Тапсырма түрлері
	2-к санау жүйесін 10-қ санау жүйесіне аударыңыз және керісінше	2-к санау жүйесін 8-к санау жүйесіне аударыңыз және керісінше	2-к санау жүйесін 16-қ санау жүйесіне аударыңыз және керісінше	10-қ санау жүйесін 8-к санау жүйесіне аударыңыз және керісінше	10-қ санау жүйесін 16-қ санау жүйесіне аударыңыз және керісінше
1	1100	111,001	10,1010	12	61
2	1111	010,101	000111	22	55
3	101	101010	1011,11	32	74
4	100	000111	10101	42	43
5	1001	101,111	101011	77	49
6	1000	10101	10,0011	80	59
7	11111	101011	1,100	52	100
8	10110	10,0011	1010	24	33
9	10001	1000101	11,1001	36	37
10	11101	111,110	010101	91	73
11	1100	1011110	101,010	87	98
12	10010	101100	000111	78	89
13	11100	100,1111	10,1111	69	40
14	10110	1111,101	1010,1	61	71
15	1100	111001	111,001	55	51
16	1010	010101	010,101	74	20
17	111001	10,1010	101010	43	83
18	010101	000111	000111	49	29
19	101010	1011,11	101,111	59	22
20	000111	10101	10101	100	32
21	101111	101011	101011	33	42
22	10101	10,0011	10,0011	37	77
23	101011	1,100	1000101	73	80
24	100011	1010	111,110	98	52
25	1000101	11,1001	1011110	89	24
26	111110	010101	101100	40	36
27	1011110	101,010	100,1111	17	91
28	101100	000111	1111,101	15	87
29	1001111	10,1111	111001	20	78
30	1111101	1010,1	010101	18	69