Демо вариант
.docДемонстрационный вариант
Часть А
А.1. Заполните пропуски, чтобы получилось истинное утверждение:
Большим кругом называется сечение…
А.2. Сделайте рисунок пирамиды, в основании которой лежит квадрат и одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию, обозначьте её: вершину, апофему, высоту, боковые рёбра, основания, боковые грани.
А.3. Запишите, как относятся объёмы двух усечённых пирамид с одинаковыми высотами.
А.4. Основание призмы трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися?
Варианты ответов.
Записать определение скрещивающихся прямых и сделать перебор представленных ответов.
1) 2)
3) 4)
А.5. Укажите плоскость, параллельную прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей двух граней и параллелепипеда .
Варианты ответов.
1) 2) 3) 4)
А.6. Основание пирамиды параллелограмм. Укажите плоскость, параллельную плоскости, проходящей через середины рёбер .
Варианты ответов. 1) 2) 3) 4)
А.7. Расстояние между осью цилиндра и параллельным ему сечением равно . Радиус основания и высота цилиндра равны . Найдите площадь сечения.
Решение.
Рассмотрим равнобедренный,.
(так как треугольник равнобедренный), . По теореме Пифагора получим
А.8. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно , а сторона основания . Найдите тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания.
Решение.
А.9. Через вершину квадрата проведён перпендикуляр к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки до прямой, проходящей через середины сторон , если .
Р
H
В A M
K N
D C
равнобедренный треугольник. Отрезок диагональ квадрата и равен:.
, как средняя линия .
.
Рассмотрим треугольник (по теореме Пифагора): .
Рассмотрим треугольник (по теореме Пифагора):
А.10. В основании наклонной призмы лежит правильный треугольник.
Радиус окружности, вписанной в основание, равен , а её боковое ребро, равное , наклонено к плоскости основания под углом . Найдите объём призмы.
равносторонний треугольник,
А.11. Высота правильной четырёхугольной призмы
равна , а сторона основания. Найдите расстояние между вершиной и точкой пересечения диагоналей грани .
Решение.
Найдём диагональ
Найдём высоту равнобедренного треугольника :
Высота, опущенная из точки на сторону , делит на два равных отрезка. Найдём проекцию
Найдём искомое расстояние .
А.12. Найдите объём конуса, если угол при вершине его осевого сечения равен , а радиус описанного около конуса шара равен .
Решение.
Замечания.
1. Шар можно вписать в любой конус.
2. Шар касается основания конуса в его центре и боковой поверхности конуса по окружности, лежащей в плоскости, параллельной основанию конуса.
3. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Обозначим сторону треугольника. Треугольник будет равносторонним, так как угол при вершине равен , образующие конуса являются сторонами треугольника (осевого сечения), то есть тоже .
Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности и высота конуса:
А.13. Объём цилиндра равен , а радиус его основания . Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Решение.
А14. Основание прямой призмы – прямоугольник со сторонами , а её высота равна . Найдите тангенс угла между диагональю призмы и плоскостью большей по площади боковой грани.
Решение.
С1
B1
А1
B
D1
А
С1
D
c
a
b
По теореме косинусов, получим:
А15. Расстояние между плоскостью основания конуса и параллельной ей секущей плоскостью равно . Высота конуса равна , а радиус сечения . Найдите площадь основания.
Решение.
Обозначим вершину конуса через . .
Треугольники
Часть В
В1. Основание пирамиды – треугольник со сторонами . Боковые грани наклонены к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды.
Решение.
В2. Высота правильной шестиугольной призмы равна , а площадь основания . Найдите длину большей диагонали призмы.
правильная шестиугольная призма; в основании правильный шестиугольник со стороной . . Проведём из вершины диагонали и оценим их длины
. Угол . По теореме косинусов найдём :
Сравним . Значит, большая диагональ это
так как проекция наклонной большая.
Найдём площадь правильного шестиугольника:
. Выразим сторону шестиугольника:
Рассмотрим треугольник прямоугольный, так как призма правильная, по теореме Пифагора найдём искомую диагональ:
Основные формулы стереометрии |
||||||||||
Призма
|
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней: , где - площадь полной поверхности призмы; площадь боковой поверхности призмы; - площадь основания призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: . Объем куба равен кубу его ребра: . Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту: . |
|||||||||
Пирамида |
Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. , где площадь полной поверхности пирамиды; площадь боковой поверхности пирамиды; площадь основания пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: . Для правильной угольной пирамиды со стороной основания и апофемой : . Площадь боковой поверхности пирамиды, в которой все двугранные углы при основании равны , вычисляется по формуле: , где площадь основания пирамиды. |
|||||||||
Усеченная пирамида |
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. , где площадь полной поверхности усеченной пирамиды; площадь боковой поверхности усеченной пирамиды; площади оснований усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему: , где периметры оснований, апофема. , где площади оснований усеченной пирамиды |
|||||||||
Цилиндр |
Площадью боковой поверхности цилиндра называется площадь ее развертки: , гдевысота цилиндра,длина окружности основания цилиндра. Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований: . |
|||||||||
Конус |
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , где радиус основания конуса, длина его образующей. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания: . . |
|||||||||
Усеченный конус |
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле , где и радиусы оснований, образующая усеченного конуса. Площадь полной поверхности усеченного конуса с образующей и радиусами оснований и вычисляется по формуле . |
|||||||||
Шар
|
Объем шара с диаметром вычисляется по формуле: . Площадь сферы радиуса вычисляется по формуле: . |
|||||||||
Шаровой сегмент
|
||||||||||
Шаровой сектор |
||||||||||
Шаровой слой
|
||||||||||
Основные формулы планиметрии, используемые для решения стереометрических задач |
||||||||||
Произвольный треугольник
высота к стороне ; радиус описанной окружности; радиус вписанной окружности; полупериметр. |
Теорема синусов: . Теорема косинусов: . Площадь треугольника:
(формула Герона). Формулы радиусов:. |
|||||||||
Прямоугольный треугольник
радиус описанной окружности; радиус вписанной окружности.
|
Теорема Пифагора: . Тригонометрические функции: . Формулы радиусов: . Площадь: . Метрические соотношения: . |
|||||||||
Равносторонний треугольник
|
Формула высоты: . Площадь: Формулы радиусов: |
|||||||||
Произвольный параллелограмм
диагонали; угол между диагоналями. |
Связь между диагоналями и сторонами: . Площадь:
|
|||||||||
Прямоугольник
|
Площадь: . Радиус описанной окружности: |
|||||||||
Ромб
диагонали. |
Площадь: . Радиус вписанной окружности: .
|
|||||||||
Квадрат
|
Площадь: . Формулы радиусов: . |
|||||||||
Трапеция
|
Площадь: . диагонали; угол между диагоналями. |
|||||||||
Правильная пирамида |
||||||||||
S
A D C E H O B K a F h |
|
|||||||||
Правильная треугольная пирамида |
||||||||||
A |
H – высота, h – апофема а – сторона основания AB = BC = AC = a (в основании – правильный треугольник)
|
|||||||||
|
||||||||||
Правильная четырехугольная пирамида |
||||||||||
Р
С А В D O H a h K |
|
|||||||||
H – высота, h – апофема; а – сторона основания AB = BC = CD = DA = a (в основании – квадрат); К – середина DC. |
||||||||||
Правильная шестиугольная пирамида |
||||||||||
S
А В С D О E K h F a H
|
||||||||||
Усеченная пирамида |
||||||||||
P
P А А А А O OO1= H – высота
|
||||||||||
Правильная треугольная усеченная пирамида – боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции. |
||||||||||
Δ ABC и Δ A1B1C1 – равносторонние треугольники. OO1 = H – высота ; КК1 = h – апофема.
А В K С О a M h H b
|
|
|||||||||
Правильная четырехугольная усеченная пирамида – боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции. |
||||||||||
А C B H h K D O b a |
||||||||||
ABCD и A1B1C1D1 – квадраты OO1 = H – высота KK1 = h – апофема
|
||||||||||
Правильные многоугольники |
||||||||||
|
|
|
|
|
Связь м/у
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
|||||
8 |
|
|
|
|
|
|||||
12 |
|
|
|
|
|