3. Програма навчальної дисципліни

Змістовий модуль 1. Системи лінійних рівнянь

Тема 1. Загальні відомості про СЛР – вектор-розв’язок, сумісні (визначені, невизначені), несумісні СЛР. Приклади. Теорема про те, що кожна СЛР, що має два різних розв’язки, має нескінченно багато розв’язків. Рівносильні СЛР, властивості відношення рівносильності. Елементарні перетворення СЛР.

Метод Гаусса розв’язування СЛР.

Тема 2. Перестановки та підстановки. Дії над підста­новками (множення та відшукання оберненого). Симетрична S_n група всіх підстановок n-го степеня. Транспозиції. Інверсії. *Теорема про розклад кожної нетотожної підстановки на добуток inv(α) транспозицій сусідніх елементів. Парність, непарність підстановок. Знак підстановки (декремент). *Альтернативна (знакозмінна) А_п група всіх парних підстановок.

Тема 3. Матриці та дії над ними. Властивості дій над матрицями (додавання і множення на скаляр, протилежна матриця). Транспонована матриця. Множення матриць та його властивості. При­клади. Дії над квадратними матрицями n-го по­рядку. *Кільце матриць n-го порядку, його характеристика.

Тема 4. Теорія визначників: визначники малих порядків, їх обчислення та зв'язок з СЛР. Приклади. Визначники n-го порядку та їх властивості (рівноправність рядків і стовпців; лінійність та знакозмінність визначника. Елементарні перетворення). Мінор та алгебраїчне доповнення елемента визначника. Розклад визначника за елементами рядка (стовпця). Приклади. Умови рівності нулю визначника. Способи обчислення визначників. Приклади. Визначник трикутної матриці. Визначник добутку матриць.

Тема 5. Крамерівські СЛР. Взаємно-обернені матриці. Критерій оборотності. Способи знаходження оберненої матриці. Приклади. Матричний спосіб розв’язування СЛР. Теорема Крамера та її застосування.

Змістовий модуль 2. Числові поля. Поле комплексних чисел

Тема 1. Відношення. Прямий добуток двох множин, двох однакових множин, n однакових множин. Приклади. Відношення на множинах, n-арне відношення; область визначення, множина значень; властивості відношень (рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, антисиметричність, транзитивність), графіки відношень. Приклади. Розбиття множини на класи. Фактор-множина. Функціональні відношення. Класифікація функцій (сюр’єктивні, ін’єктивні, бієктивні), їх графіки. Приклади.

Тема 2. Алгебраїчні операції, поняття n-арної операції, заданої на множині А, ранг операції, приклади. Види бінарних операцій (комутативність, асоціативність, дистрибутивність відносно іншої бінарної операції), приклади. Нейтральний (і його єдиність) та симетричний (і його єдиність) елементи. Адитивна і мультиплікативна форми запису бінарних операцій. Приклади. Алгебри. Тип алгебри. Однотипні алгебраїчні структури. Моноїд, група. Кільця (асоціативне кільце з одиницею, комутативне кільце, кільце без одиниці). Область цілісності, поле. Приклади.

Тема 3. Поле комплексних чисел. Алгебраїчна форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі. Спряжені комп­лексні числа. Властивості комплексно спряжених чисел. Геометрична ілюстрація.

Тема 4. Тригонометрична форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Формула Муавра. Добування кореня з комплексного числа. Двочленні рівняння a xⁿ=b, a,bєC. *Мультиплікативна група коренів з одиниці. Експоненціальна форма комплексного числа.

Змістовий модуль 3. Дослідження систем лінійних рівнянь

Тема 1. Арифметичний n-вимірний лінійний простір. Арифметичні вектори та властивості дій над ними. Лінійна залежність і незалежність системи векторів, властивості. Еквівалентні системи век­торів. Лінійна оболонка, властивості. Приклади. Базис і ранг скінченої системи векторів. Стандартний базис арифметичного векторного простору. Доповнення лінійно незалежної системи до базису.

Тема 2. Ранг матриці, способи обчислення, приклади. Рівність рядкового і стовпцевого рангів матриці. Теорема Кронекера-Капеллi (критерій сумісності СЛР та критерій визначеності сумісної СЛР).

Тема 3. Зв’язок між розв’язками неоднорідної СЛР і відповідної їй однорідної СЛР. Критерій існування ненульових розв’язків однорідної СЛР та критерій визначеності сумісної неоднорідної СЛР.

Тема 4. Системи лінійних однорідних рівнянь, фундаментальна система розв’язків однорідної СЛР. Приклади.

Змістовий модуль 4. Лінійні простори. Унітарні і евклідові простори

Тема 1. Лінійний простір. Підпростір. Критерій підпростору. Перетин підпросторів. Розмірність перетину. Доповнення простору Uдо простору V. Сума підпросторів. Розмірність суми. Пряма сума підпросторів. Об’єднання підпросторів. При­клади.

Тема 2. Лінійна оболонка системи векторів, її будова. Поняття лінійного многовиду. Приклади. Простір розв’язків однорідної СЛР і лінійний многовид розв’язків неоднорідної системи рівнянь. Координати вектора в різних базисах. Ізоморфізм векторних просторів. Властивості відношення ізоморфізму на множині векторних просторів.

Тема 3. Векторні простори із скалярним множенням. Властивість ортого­нальної системи ненульових векторів. Процес ортогоналізації. Ортогональне допов­нення до базису.

Тема 4. Евклідів векторний простір. Приклади евклідових просторів. Норма вектора, кут між векторами. Нерівність Коші–Буняковського. Унітарний простір.

Змістовий модуль 5. Лінійні оператори. Структура лінійного відображення. Лінійні оператори на евклідовому та унітарному просторах

Тема 1. ЛО, означення та найпростіші властивості. Зобра­ження ЛО матрицею. Приклади. Зв’язок між координатними стовпчиками векторів-прообразів і векторів-образів під дією ЛО. Зв’язок між матрицями ЛО в різних базисах. Приклади.Подібні матриці. Дії над лінійними операторами, їхні матриці. Невироджені ЛО. Повна лінійна група. Образ і ранг, ядро і дефект ЛО векторного простору. Приклади

Тема 2. Структура лінійного відображення. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення. Теорема про вигляд множини власних векторів ЛО. Знаходження власних векторів ЛО, алгоритм, приклади. Теорема про власні вектори ЛО, які належать різним власним значенням. Оператори з простим спектром. Матриця ЛО з простим спектром у базисі із власних векторів. Приклади.

Тема 3. ЛО в евклідовому та унітарному просторах (ортогональні та унітарні ЛО). Ознаки ортогональності (унітарності) ЛО. Матриця ортогонального (унітарного) ЛО. Ортогональні та унітарні матриці та їх властивості. Властивості ортогональних та унітарних операторів (власні значення; φ·ψ; φ^-1). *Мультиплікативна група ортогональних (унітарних) операторів. Спряжені ЛО. Самоспряжені та унітарні ЛО та їхні матриці.

Змістовий модуль 6. Квадратичні форми

Тема 1. Білінійні форми.Матриця БФ. Симетричні та кососиметричні БФ. КФ. Матриця КФ. Канонічний вигляд КФ. Індекс і ранг КФ.

Тема 2. Зведення КФ до канонічного вигляду: методи Лагранжа, Якобі, ортогональних перетворень. Зведення КФ до головних осей. Закон інерції. Додатньо означені форми. Критерій Сильвестра.

Тема 3. Застосування КФ до дослідження кривих і поверхонь другого порядку.

4. Структура навчальної дисципліни

Назви змістових модулів і тем	Кількість годин
	денна форма						Заочна форма
	усьо­го	у тому числі					усього	у тому числі
		л	п	лаб	інд	с.р.		л	п	лаб	інд	с.р.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Змістовий модуль 1. Системи лінійних рівнянь
Тема 1. Загальні відомості про СЛР	8	4	2			2	10	2	2			6
Тема 2. Перестановки та підстановки	7	2	1			4	10	1	1			8
Тема 3. Матриці та дії над ними	7	2	1			4	13	1	1			11
Тема 4. Теорія визначників	7	3	2			2	14	1	2			11
Тема 5. Краме­рівські СЛР. Взаєм­но-обернені матриці	7	3	2			2	13	1	2			10
Інд. ДЗ № 2(1)	4		-	-	4	-	5		-	-	5	-
Колокв № 1(1)	7					7
Разом за змісто­вим модулем 1	47	14	8		4	21	65	6	8		5	46
Змістовий модуль 2. Числові поля. Поле комплексних чисел
Тема 1. Відно­шення	6	2	2			2	9	1	2			6
Тема 2. Алгеб­раїчні операції	9	3	2			4	13	1	2			10
Тема 3. С: дії над комплекс­ними числами в алгеб­раїчній формі	6	2	2			2	12	1	2			9
Тема 4. С: дії над комплекс­ними числами в триго­номет­ричній формі	9	3	2			4	15	2	2			11
Інд. ДЗ № 1	6		-	-	6	-	6		-	-	6	-
Колокв. №1(2)	8					8
Разом за змісто­вим модулем 2	44	10	8		6	20	55	5	8		6	36
Змістовий модуль 3. Дослідження систем лінійних рівнянь
Тема 1. Ариф­ме­тичний n-ви­мір­ний лі­нійний про­стір	8	4	2			2	11	1	2			8
Тема 2. Ранг матриці, тео­рема Кроне­кера-Капеллi	10	4	2			4	15	1	2			12
Тема 3. Зв’язок між роз­в’яз­ками НОСЛР і відпо­відної їй ОСЛР.	4	2	1			1	8	0,5				7,5
Тема 4. ОСЛР, ФСР ОСЛР.	4	2	1			1	7	0,5				6,5
Інд. ДЗ № 2(2)	4		-	-	4	-	5		-	-	5	-
Колокв. № 2	15					15
Разом за змісто­вим модулем 3	45	12	6		4	23	46	3	4		5	34
Змістовий модуль 4. Лінійні простори. Унітарні і евклідові простори
Тема 1. Ліній-ний простір. Підпрос­тір. Дії над під­просторами	14	4	4			6	14	1	1			12
Тема 2. Лінійна обо-лонка системи векторів, її будо­ва. Ко-ординати век-тора в різних базисах	12	6	2			4	12		1			11
Тема 3. Век-тор­ні просто-ри із ска­ляр-ним множен­ням.	7	3	2			2	12		1			11
Тема 4. Евклі­дів векторний про­стір. Уні­тарний про­стір.	8	3	2			3	12	1	1			10
Інд. ДЗ № 3	6		-	-	6	-	5		-	-	5	-
Колокв. № 3	15					15
Разом за зміс­то­вим моду­лем 4	62	16	10		6	30	55	2	4		5	44
Змістовий модуль 5. Лінійні оператори. Структура лінійного відобра­ження. Лінійні оператори на евклідовому та унітарному просторах
Тема 1. ЛО, зв’я­зок між коорди­натами векторів-про­образів і век­торів-образів. Дії над ЛО. Образ і ранг, ядро і дефект ЛО ВП	25	8	6			11	25	1	2			22
Тема 2. Струк­ту­ра лінійного від­ображення. Влас­ні век­тори і влас­ні значення ЛО	16	6	4			6	20	1	2			17
Тема 3. ЛО в евклідовому та унітарному про­сторах	13	4	3			6	15	1				14
Інд. ДЗ № 4(1)	3		-	-	3	-	6		-	-	6	-
Колокв. №4(1)	9					9
Разом за змісто­вим модулем 5	66	18	13		3	32	66	3	4		6	53
Змістовий модуль 6. Квадратичні форми
Тема 1. Білі­нійні та КФ. Матриця КФ. Каноніч­ний вигляд КФ. Ін­декс і ранг КФ.	5	2	1			2	10	0,5				9,5
Тема 2. Зве­дення КФ до каноніч­ного вигляду: ме­тоди Лагран­жа, Якобі, ор­того­на­ль­них пере­тво­рень	7	1,5	3			2,5	11	0,5	1			9,5
Тема 3. Засто­су­вання КФ до до­слід­жен­ня кривих і по­вер­хонь дру­гого по­рядку	3	0,5	1			1,5	11		1			10
Інд. ДЗ № 4(2)	3		-	-	3	-	5		-	-	5	-
Колокв. №4(2)	6					6
Разом за змісто­вим модулем 6	24	4	5		3	12	37	1	2		5	29
Усього годин	288	74	50		164		324	20	30		274