4. Порядок расчета рам методом перемещений

1. Определяется степень кинематической неопределимости рамы по формуле:

H = n_y + n_л, где

n_y  – число жестких узлов в стержневой системе;

n_л – число возможных независимых линейных смещений концов стержней.

Для рамы, показанной на рис. 13 степень кинематической неопределимости будет:

, , .

2. Формируем основную систему метода перемещений путем введения фиктивных связей, препятствующих повороту жестких узлов и линейным смещениям концов стержней (рис. 14).

3. Запишем в общем виде систему канонических уравнений метода перемещений:

.

В нашем случае (для рассматриваемой рамы):

.

4. В основной системе метода перемещений построим эпюры изгибающих моментов от поочередного единичного смещения фиктивных связей () и заданной нагрузки ().

Построение эпюр  и  в большей степени формально, так как заключается в переносе на основную систему полученных ранее решений. Для рассматриваемой рамы на рис. 6.15 показаны соответствующие эпюры.

5. Определим коэффициенты канонических уравнений  и .

Коэффициент  представляет собой реакцию –й фиктивной связи от единичного смещения –й фиктивной связи.

Свободный член  является реакцией в –й фиктивной связи от заданной нагрузки.

Для определения реактивного момента в –м фиктивном защемлении необходимо в соответствующей эпюре  или вырезать –й узел с фиктивной связью и из условия равновесия  находим искомую реакцию  или .

Если найденная опорная реакция совпадает с направлением единичного перемещения связи – по часовой стрелке для защемления и слева направо для шарнирной опоры, то она считается

положительной.

Для рассматриваемой рамы определение опорных реакций показано на рис. 16.

Для определения реакций в фиктивных одностержневых  опорах необходимо рассмотреть равновесие всей рамы или ее части при том или ином воздействии, предварительно определив, из соответствующих эпюр изгибающих моментов  или, опорные реакции в действительных опорах или поперечные силы в сечениях.

Примеры определения коэффициентов ,  и  и доказательства выполнения закона парности коэффициентов  

показаны на рис. 1

6. Из решения канонических уравнений находим действительные смещения .

Окончательная эпюра изгибающих моментов строится путем сложения откорректированных эпюр  с эпюрой :

.

8. Правильность эпюры  устанавливается при помощи деформационной проверки:

, где

– эпюра изгибающих моментов в основной системе метода сил от единичного –го неизвестного.

9. По эпюре  и заданной нагрузке строится эпюра поперечных сил с использованием уже известной формулы:

.

10. По эпюре Q из условий равновесия узлов найдем нормальные силы и построим эпюру N.

11. Правильность эпюр Q и N установим проверкой статического равновесия всей рамы.

20…. Канонические уравнения метода перемещений

 

Основная система метода перемещений отличается от заданной наличием дополнительных связей, препятствующих перемещениям узлов, появлениям реактивных моментов во введённых заделках и реактивных сил в добавленных опорных стержнях.

Канонические уравнения метода перемещений имеют статический смысл, который заключается в отрицании реактивных усилий (сил или моментов) во введённых добавочных связях по направлениям неизвестных перемещений (так как в заданной системе эти связи отсутствуют, см.  рис. 12.6, 12.7).

 

Рис. 12.6. Заданная система (а); основная система (б)

 

Рис. 12.7. Деформированные схемы рамы в основной системе от единичных перемещений и внешней нагрузки

 

Канонические уравнения:

R₁ = 0, R₁ = R₁₁ + R₁₂ + R₁₀ = 0 – реактивный момент в первой введённой связи (заделке);

R₂ = 0, R₂ = R₂₁ + R₂₂ + R₂₀ = 0 – реактивная сила во второй связи (опорном стержне),

где R₁₁ – реакция в первой дополнительной связи от смещения первой связи; R₁₂ – реакция в первой связи от смещения второй дополнительной связи; R₁₀ – реакция в первой связи от внешней нагрузки; R_ik – реакция в  i-й дополнительной связи от смещения k-й связи; R_i0 – реакция в i-й дополнительной связи от внешней нагрузки,

 

R_ik = r_ik z_k,

 

где r_ik – реакция в i-й связи от смещения k-й связи на 1; z_k – величина перемещения связи К.

Тогда канонические уравнения запишутся в виде:

 

 

Для системы n раз кинематически неопределимой канонические уравнения имеют вид:

 

 

Входящие в канонические уравнения коэффициенты при неизвестных r_ik представляют собой реактивные усилия, возникающие в дополнительной связи i от единичного перемещения z_k связи К. Свободные члены канонических уравнений R_i0 представляют собой реактивные усилия в связи i от внешней нагрузки.

Единичные r_ik и грузовые R_i0 реакции имеют положительный знак в том случае, если их направление совпадает с заданным направлением перемещения z_i связи i.

Коэффициенты при неизвестных образуют матрицу реакций системы:

 

_.

 

Свойства коэффициентов при неизвестных.

1. Коэффициенты, расположенные на главной диагонали и имеющие одинаковые индексы r₁₁, r₂₂, … r_nn, называются главными. Главные коэффициенты всегда положительны и не равны нулю.

2. Коэффициенты, расположенные вне главной диагонали и имеющие разные индексы, называются побочными:

а) побочные коэффициенты обладают свойством взаимности r_ik = r_ik;

б) побочные коэффициенты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.