5. Особенности реализации моделей энергооборудования.

Довольно часто начинающие исследователи испытывают трудности в первоначальном запуске созданной ими модели, не очень хорошо представляя, каким образом воспользоваться полученной системой из нескольких дифференциальных уравнений и замыкающих соотношений, описывающих один или несколько элементов энергетической установки. К сожалению, рекомендации по «правильному» началу собственного пути в моделировании встречаются в литературе очень редко. Поэтому, автор считает полезными некоторые пояснения о реализации модели на элементарном примере.

Как уже указывалось выше существует ряд различных по сложности методов решения дифференциальных уравнений (см. гл. 2) сохранения, среди которых для «точечных» моделей своей простотой выделяется «одношаговый» метод Эйлера. На примере его применения понять способ решения системы уравнений и реализации модели достаточно легко.

Прежде всего следует помнить, что динамический процесс имеет аргументом (независимой переменной) время, что справедливо для большинства расчитываемых на модели функций, которые чаще всего являются ведущими технологическими параметрами такого процесса. Поэтому большинство получаемых на модели зависимостей являются фукциями времени. Любой из существующих способов решения систем дифференциальных уравнений позволяет найти значения конкретных функций в определенные моменты времени, а не отлеживать ее изменения непрерывно. Чем ближе друг к другу эти моменты времени (этот временной интервал называют шагом интегрирования), тем точнее найдено значение конкретной функции. Правда, чем мельче шаг интегрирования, чем больше расчетных шагов надо сделать, чтобы расчитать изменение функции на одном и том же интервале времени.

Расчет каждого нового значения функции возможен, если известны ее старые значения или, как говорят, «значения функции на предыдущих шагах». Для одиночного дифференциального уравнения:

, (5.1)

Здесь :  новое значение функции;

 предыдущее (известное) значение функции;

 приращение функции на данном временном шаге.

Таким образом, определение нового значения конкретной интегрируемой функции требует корректного вычисления приращенияфункции на одном временном шаге, являющимся приращением аргумента, т.е. времени.

Метод Эйлера требует знания лишь одного значения производной искомой функции на предыдущем шаге для определения величины приращения данной функции на следующем временном шаге:

, (5.2)

Метод легко проиллюстрировать на графике любой непрерывной дифференцируемой функции (см. Рис. 1) :

Рис. 1 Графическая интерпретация производной

На графике показана непрерывная на некотором интервале функция y(x), которая при начальном значении аргумента х₀ имеет значениеy₀. К графику функции в данной точке проведена касательная (de), образующая с осью абсцисс (в нашем случаешкалой времени) острый уголcab. Тангенс этого угла есть не что иное, как производная функцииy(x). Из графика следует, что искомое значение функцииy₁ при значении аргумента x₁, т.е. при

шаге интегрирования х =x₁ х₀ может быть приблизительно найдено, какy₁ =y₀+y, гдеyприращение функцииy(x), есть катет «bc» треугольника «cab», который из геометрического построения может быть найден через другой катет «ab», или, что то же самое, через приращение аргумента (шаг интегрирования)х:y=хtg(cab). Однако, посколькуtg(cab) есть по смыслу производная функцииy(x), то это дает основание записать выражение для приращения функции на шаге, как:

,

что подтверждает справедливость выражений (5.1) и (5.2) для поиска приращения функции и самого ее нового значения. Понимание способа определения нового значения функции на очередном временном шаге через ее приращение является ключевым знанием при интегрировании систем дифференциальных уравнений.

Таким образом, алгоритм реализации моделей энергооборудования, т.е. решения систем дифференциальных уравнений с необходимыми замыкающими соотношениями можно представить в виде цикличной (регулярно повторяющейся) последовательности операций:

1. найти значения всех производных из дифференциальных уравнений модели, уточнив где это необходимо значения коэффициентов и переменных величин, входящих в уравнения, с помощью замыкающих соотношений;

2. с помощью полученных производных определить приращения для каждой интегрируемой функции на текущем временном шаге;

3. сложить найденные приращения с имеемыми (предыдущими) значениями каждой интегрируемой функции, определить их новые значения;

4. добавить к имеемому (старому) значению времени приращение аргумента, т.е. величину текущего шага интегрирования, определить тем самым новое значение текущего времени;

5. вывести на печать (на график, в таблицу) значение текущего времени и соответствующие ему новые значения интегрируемых функций;

6. проверить условие окончания решения системы уравнений: либо по достижении временем заданного значения, либо по достижении каким-либо параметром (функцией) некой предельной величины;

7. при отсутствии указателя окончания счета вернуться к п. 1 и вновь продолжить расчет производных для интегрируемых функций.

Это наиболее общая схема применения теплогидравлической модели, разработанной на основе дифференциальных уравнений сохранения.