0251552_38296_mankiv_gregori_n_makroekonomika

яка дорівнює споживанню, зростає зі збільшенням k*. І навпаки, якщо обсяг капіталу перевищує рівень Золотого правила, то збільшення капіталу зменшує споживання, оскільки приріст обсягу виробництва є меншим від приросту амортизації. У цьому разі виробнича функція є пологішою, ніж лінія δk* отож віддаль між кривими — споживання — зменшується зі збільшенням k*. За обсягу капіталу, що відповідає Золотому правилу, виробнича функція і лінія δk* мають однаковий нахил, а споживання досягає найвищого рівня.

Тепер можна вивести просту умову, яка характеризує обсяг капіталу за Золотим правилом. Згадайте, що нахил виробничої функції є граничним продуктом капіталу МРК. Нахил лінії δk* є δ.

Оскільки обидва ці нахили рівні між собою за kg*, то таке рівняння описує Золоте правило:

МРК = δ

За обсягу капіталу, що відповідає Золотому правилу, граничний продукт капіталу дорівнює нормі амортизації.

До цього висновку можна прийти і іншим шляхом. Припустімо, що спочатку в економіці стаціонарний обсяг капіталу становив k* + 1. Додатковий обсяг продукції від цього збільшення капіталу становив би f(k* + 1) — f(k*), що є граничним продуктом капіталу МРК. Величина додаткової амортизації від збільшення обсягу капіталу на одну одиницю дорівнює нормі амортизації & Отже, чистий вплив цієї додаткової одиниці капіталу на споживання дорівнюватиме МРК — δ. Якщо МРК

— δ> 0, то збільшення капіталу збільшує споживання, отож k* менше за рівень Золотого правила. Якщо МРК — δ < 0, то збільшення капіталу зменшує споживання, тому k* перевищує рівень Золотого правила. Наступна умова описує Золоте правило:

МРК - δ = 0.

За обсягу капіталу на рівні Золотого правила граничний продукт капіталу мінус амортизація (МРК — δ) дорівнює нулю. Як згодом побачимо, державні мужі можуть використовувати цю умову для обчислення обсягу капіталу, що відповідає Золотому правилу .

Пам'ятаймо, що економіка автоматично не тяжіє до стаціонарного стану за Золотим правилом. Якщо ми хочемо досягти певного стаціонарного обсягу капіталу, такого як за Золотим правилом, то нам потрібен відповідний рівень заощадження. На графіку 4-8 показано стаціонарний стан, в якому встановлено таку норму заощадження, яка забезпечує нагромадження капіталу на рівні Золотого правила. Якщо норма заощадження перевищує цей рівень, то стаціонарний обсяг капіталу недостатній для максимізації споживання. У будь-якому з цих двох випадків стаціонарне споживання буде нижчим, ніж за Золотим правилом.

Графік 4-8. Рівень заощадження і Золоте правило. Існує лише один рівень заощадження, який веде до нагромадження обсягу капіталу на рівні Золотого правила kg*. Будь-які зміни у рівні заощадження перемістили б криву s f(k) а економіка перейшла б до стаціонарного стану з нижчим рівнем споживання.

Знаходження стаціонарного стану за Золотим правилом: числовий приклад

Розгляньмо рішення державних мужів, що вибирають стаціонарний стан у гіпотетичній економіці. Нехай виробнича функція буде тією самою, що і в наведеному раніше прикладі:

y = k

Обсяг продукції на працівника є коренем квадратним з обсягу капіталу на працівника. Амортизація δ знову становить 10%. Цього разу державні мужі вибирають рівень заощадження s і, отже, стаціонарний стан економіки.

Щоб зрозуміти можливості державних мужів у виборі стаціонарного стану, згадаймо, що стаціонарному станові відповідає таке рівняння:

k*/ f(k*) = S / δ

У нашій економіці це рівняння набуває вигляду:

k*/ k = s /0,1

Піднісши до квадрата обидві частини рівняння, знайдемо стаціонарний обсяг капіталу, який становить

k* = 100 s2

Використовуючи цей результат, можна обчислити стаціонарний обсяг капіталу для будь-якого рівня заощадження.

У таблиці 4-3 подано результати обчислень показників, які описують параметри стаціонарних станів за різних рівнів заощадження. Ми бачимо, що вищий рівень заощадження забезпечує більший обсяг капіталу, що в свою чергу збільшує обсяг виробництва і амортизацію. Стаціонарне споживання

— різниця між обсягом виробництва і амортизацією — зі збільшенням рівня заощадження спочатку зростає, а відтак падає. Найвищий рівень споживання досягається за рівня заощадження 0,5. Отже, цей рівень заощадження забезпечує стаціонарний стан, що відповідає Золотому правилу.

Інший спосіб визначення стаціонарного стану за Золотим правилом — це знаходження обсягу капіталу, за якого чистий граничний продукт капіталу дорівнює нулю. Для цієї виробничої функції граничний продукт капіталу становить :

MPK = 1/2 k

Таблиця 4-3

Знаходження стаціонарного стану за Золотим правилом: числовий приклад

Використовуючи цю формулу, можна обчислити значення МРК та МРК — δ(два останні стовпці таблиці) за різних стаціонарних станів. Завважте, що чистий граничний продукт капіталу дорівнює нулю, коли рівень заощадження становить 0,5, що відповідає Золотому правилу. Внаслідок спадання граничного продукту чистий граничний продукт капіталу перевищує нуль, коли в економіці заощад-

__________

5Математична примітка. Для виведення цієї формули згадайте, що граничний продукт капіталу є похідною по А від виробничої функції.

жують менше за рівень Золотого правила, і менший від нуля, коли заощаджують більше.

Цей числовий приклад підтверджує, що два методи виявлення стаціонарного стану який відповідає Золотому правилу, - через стаціонарне споживання і через граничний продукт капіталу - дають однаковий результат. Якщо нам потрібно дізнатися, чи обсяг капіталу в економіці перебуває нині на рівні Золотого правила, перевищує його або нижчий за нього, то другий метод є зручнішим для використання, бо оцінити граничний продукт капіталу легше. І навпаки, перший метод передбачає обчислення стаціонарного споживання за різних рівнів заощадження; такі обчислення проводити непросто.

Отож, коли у наступному розділі ми знаходитимемо стаціонарний стан на рівні Золотого правила для економіки США, то застосуємо другий метод - граничний продукт капіталу.

Перехід до стаціонарного стану,

що відповідає Золотому правилу

Нехай тепер наші державні мужі розв'язують реалістичніші завдання. Досі припускалося, що урядовці просто вибирають стаціонарний стан із найбільшим обсягом споживання, який відповідає Золотому правилу. Що станеться із споживанням, інвестиціями та капіталом, коли економіка переходить від одного стаціонарного стану до іншого? Чи можуть події цього перехідного періоду змусити державних мужів, що ухвалюють рішення, відмовитись від намагань досягти рівня Золотого правила?

Нам потрібно розглянути два випадки: коли економіка спочатку має більший обсяг капіталу, ніж за Золотим правилом, і коли цей обсяг капіталу менший. Виявляється, що обидва випадки різняться між собою тими проблемами, які вони створюють для державних мужів. (Як побачимо у наступному розділі, другий випадок — коли капіталу надто мало — описує реальну економіку, включаючи економіку США чи України).

Капітал більший, ніж за Золотим правилом. Насамперед розгляньмо випадок, за якого стаціонарний обсяг капіталу в економіці перевищує рівень Золотого правила. У цьому разі урядовцям потрібно проводити політику, яка знижує рівень заощадження, що зменшить обсяг капіталу. Припустімо, що така політика увінчалася успіхом і що в певний момент часу (позначмо його £0) норма заощадження знижується до рівня, який веде до стаціонарного стану, що відповідає Золотому правилу.

На графіку 4-9 показано, що відбувається з виробництвом, споживанням та інвестиціями, коли рівень заощадження зменшується. Зниження рівня заощадження спричиняє

збільшення споживання і зменшення інвестицій. Оскільки інвестиції та амортизація були рівними у вихідному стаціонарному стані, тепер інвестиції стануть меншими за амортизацію. Це означає, що економіка більше не перебуває у стаціонарному стані. Поступово, зі зменшенням обсягу капіталу, виробництво продукції скорочується, тому споживання та інвестиції також зменшуються. Ці змінні зменшуються доти, доки економіка не досягне нового стаціонарного стану. Оскільки ми припускаємо, що новий стаціонарний стан відповідає Золотому

Графік 4-9. Зниження рівня заощадження за початкового обсягу капіталу, більшого, ніж за Золотим правилом. На цьому графіку показано, що відбувається з виробництвом, споживанням та інвестиціями, коли в економіці нагромаджено більше капіталу, ніж за Золотим правилом. Зниження рівня заощадження (в момент t0) спричиняє негайне збільшення споживання і відповідне зменшення інвестицій. Зі зменшенням обсягу капіталу обсяги виробництва, споживання та інвестицій одночасно зменшуються. Оскільки в економіці нагромаджено надто високий обсяг капіталу, то споживання за нового стаціонарного стану - порівняно з вихідним стаціонарним станом — більше.

правилу, рівень споживання тепер вищий, ніж він був до зміни рівня заощадження, незважаючи на те, що виробництво та інвестиції зменшувалися.

Зверніть увагу, що, порівняно зі старим стаціонарним станом, споживання стає більшим не лише в новому стаціонарному стані, а й упродовж усього періоду переходу до цього стану. Коли обсяг капіталу перевищує рівень Золотого правила, то зниження рівня заощадження є справді вдалою політикою, бо вона збільшує споживання в кожній точці часу.

Капітал менший, ніж за Золотим правилом. Коли в економіці обсяг капіталу менший за рівень Золотого правила, то державні мужі мають збільшити рівеньn заощадження, щоб досягти Золотого правила. На графіку 4-10 показано, що при цьому відбудеться. Збільшення рівня заощадження в момент t0 спричиняє негайне зменшення споживання і збільшення інвестицій. Більші інвестиції через деякий час збільшать обсяг капіталу. З нагромадженням капіталу виробництво, споживання та інвестиції ПОСТУПОВО збільшуються і зрештою досягають нового стаціонарного стану. Оскільки обсяг капіталу у вихідному стаціонарному стані був менший, ніж за Золотим правилом, то підвищення рівня заощадження забезпечило вищий рівень споживання.

Чи підвищує економічний добробут зростання рівня заощадження, яке забезпечує стаціонарний стан за Золотим правилом? Зрештою — так, бо стаціонарний рівень споживання тепер буде вищим. Проте для досягнення цього нового ста-

ціонарного стану необхідний початковий період зі зменшеним споживанням (на відміну від випадку, коли обсяг капіталу перевищує рівень Золотого правила).

Коли в економіці обсяг капіталу на працівника перевищує рівень Золотого правила, то досягнення рівня Золотого правила супроводжується вищим рівнем споживання упродовж усього періоди переходу. Коли початковий обсяг капіталу менший, ніж за Золотим правилом то досягнення стаціонарного стану з максимальним споживанням передбачає зниження поточного споживання, задля його збільшення майбутньому.

Державні мужі, ухвалюючи рішення про досягнення рівня Золотого правила, повинні враховувати зміну складу населення: нинішні споживачі і майбутні споживачі — не завжди ті самі особи. Досягнення рівня Золотого правила забезпечує найвищий стаціонарний рівень споживання і, отже, вигідне майбутнім поколінням. Проте коли в економіці обсяг капіталу на працівника менший, ніж за Золотим правилом, то досягнення рівня Золотого правила потребує істотного збільшення інвестицій і відповідно зменшення споживання нинішнього покоління.

Графік 4-10. Підвищення рівня заощадження за початкового обсягу капіталу, меншого, ніж за Золотим правилом. На цьому графіку показано, що станеться з виробництвом, споживанням та інвестиціями, коли в економіці нагромаджено менше капіталу, ніж за Золотим правилом. Збільшення рівня заощадження (в момент t0) спричиняє негайне зменшення споживання і відповідне збільшення інвестицій. Оскільки в економіці було нагромаджено менший обсяг капіталу, ніж за Золотим правилом, то споживання за нового стаціонарного стану — порівняно з вихідним стаціонарним станом

— більше.

Ухвалення державними мужами рішення про збільшення нагромадження капіталу передбачає зміну рівня добробуту різних поколінь людей. Політики, яких більше турбує добробут нинішнього покоління, ніж майбутніх поколінь, можуть відмовитися від завдання досягнення рівня Золотого правила. І навпаки, ті політики, які турбуються про всі покоління, будуть дотримуватися Золотого правила. Хоч

нинішнє покоління споживатиме менше, усі майбутні покоління користатимуть з переходу до Золотого правила.

Отже, оптимальний темп нагромадження капіталу залежить головно від того, як зіставляються інтереси нинішнього і майбутніх поколінь. Біблійне золоте правило поведінки говорить нам про те, що "ми повинні поводитися з іншими так, як ми хотіли б, щоб інші

поводилися з нами". Якщо дотримуватися цього принципу, то добробут кожного покоління однаково важливий. Ухвалення рішення про досягнення обсягу капіталу, що відповідає Золотому правилу, є оптимальною стратегією поведінки державних мужів, ось чому це правило називають Золотим.

4-3. Зростання населення

З базової моделі Солоу випливає, що саме собою нагромадження капіталу не може пояснити безперервне економічне зростання. Високий рівень заощаджень лише тимчасово підвищує темп економічного зростання. Відтак економіка наближається до стаціонарного стану, в якому обсяг капіталу і обсяг виробництва є постійними. Для пояснення безперервного економічного зростання, яке простежується в більшості країн світу, нам потрібно розширити модель Солоу, врахувавши два інші джерела економічного зростання — зростання населення і науково-технічний прогрес. У цьому підрозділі введемо в модель зростання населення.

У підрозділах 4-1 і 4-2 припускалося, що чисельність населення є незмінною. Припустімо тепер, що населення і робоча сила зростають постійним темпом п. Наприклад, в США населення зростає темпом близько 1% за рік, тобто п = 0,01. Це означає, що коли в цьому році працювало 150 млн. американців, то наступного року працюватиме 151,5 млн. осіб (1,01 х 150), на другий рік працюватиме 153,015 млн.

осіб (1,01 х 151,5) і т. д.

Стаціонарний стан зі зростанням населення

Як зростання населення впливає на стаціонарний стан? Для відповіді на це запитання нам потрібно проаналізувати, як поруч з інвестиціями та амортизацією зростання населення впливає на обсяг капіталу на працівника. Як уже зазначалось, інвестиції збільшують обсяг капіталу, а зношення його зменшує. Однак тепер з'явилася третя сила, що впливає на обсяг капіталу на працівника: збільшення кількості працівників зменшує обсяг капіталу на працівника.

Ми знову використовуватимемо малі літери для позначення показників на одного працівника. Отже, k= K/L — тобто капітал на одного працівника; у = У/L — обсяг продукції на працівника. Однак пам'ятайте, що з часом кількість працівників зростатиме.

Зміна обсягу капіталу на працівника становить:

k = I – (δ + n)k

Це рівняння показує, як інвестиції, амортизація та зростання населення впливають на обсяг капіталу на працівника. Інвестиції збільшують k, тоді як амортизації зростання населення зменшують k. Це рівняння розглядалось раніше в цьому розділі для випадку сталого населення, коли п = 0.

Член (δ + n)k можна розглядати як порогові інвестиції — величину інвестицій, трібну для підтримання сталого обсягу капіталу на працівника. Порогові інвестиції відшкодовують зношений капітал, який дорівнює δk. Вони також містять інвестиції, необхідні для забезпечення капіталом у попередньому обсязі нових працівників. Величина цих інвестицій дорівнює nk, оскільки на кожного працівника є n нових працівників і оскільки k є обсягом капіталу на кожного працівника. Це рівняння показує, що зростання населення зменшує нагромаджений обсяг капіталу а працівника в той самий спосіб, що і амортизація. Амортизація зменшує к ношенням капіталу, тоді як зростання населення зменшує к його поділом на більшу кількість працівників6 .

Аналіз стаціонарного обсягу капіталу з урахуванням зростання населення багато і чому нагадуватиме його попередній аналіз. По-перше, підставимо sf(k) замість і. Це рівняння можна записати як:

k = sf(k) – (δ + n)k

Щоб зрозуміти, що визначає стаціонарний обсяг капіталу на працівника, використаємо графік 4-11, який доповнює графік 4-4наслідками зростання населення.

Графік 4-11. Зростання населення в моделі Солоу. Як і амортизація, зростання населення є однією з причин зниження обсягу капіталу на працівника. Якщо n — темп зростання населення, а δ — норма амортизації, то (δ + n)k — порогові інвестиції — величина інвестицій, необхідна для підтримання усталеного обсягу капіталу на працівника. Щоб економіка перебувала у стаціонарному стані, інвестиції sf(k) повинні нейтралізувати впливи амортизації та зростання населення (δ + n)k на обсяг капіталу. Це подано на графіку точкою перетину двох кривих.

___________________

6 Математична примітка. Формально виведення рівняння для зміни k потребує трохи математики. Зверніть увагу, що зміна k за одиницю часу є dk/dt = d(K/L)dt. Після застосування ланцюгового правила це можна записати як dk/dt = (1/L)(dk/dt) – (K/L2)(dL/dt) Тепер використайте такі обставини, щоб підставити у це рівняння: dK/dt = I – δk і (dL/dt)/L = n . Після певних перетворень отримаємо рівняння з тексту.

Економіка перебуває у стаціонарному стані, якщо капітал на одного працівника k є незмінним. Як і раніше, позначимо стаціонарний обсяг капіталу k*. Якщо k менше, ніж k*, то фактичні інвестиції перевищують порогові інвестиції, тому k збільшується. Якщо k більше, ніж k*, то інвестиції менші порогових, тому k зменшується.

У стаціонарному стані збільшення обсягу капіталу на працівника завдяки інвестиціям точно зрівноважуються його зменшенням внаслідок амортизації та зростання населення. Тобто за обсягу капіталу k*, k = 0 та і* = δk* + nk*. Якщо національна економіка досягла стаціонарного стану, інвестиції мають два завдання. Одне з них — заміна зношеного капіталу (δk*), а друге — забезпечення нових працівників стаціонарним обсягом капіталу.

Наслідки зростання населення

Зростання населення змінює вихідну модель Солоу у трьох напрямках. По-перше, врахування зростання населення наближає нас до розуміння причин економічного зростання. У стаціонарному стані зі зростанням населення капітал на працівника і обсяг продукції на працівника є незмінними. Проте оскільки кількість працівників зростає темпом п, загальний обсяг капіталу і загальний обсяг продукції також зростають темпом n. Отже, зростання населення не може пояснити безперервного зростання рівня життя, бо обсяг продукції на працівника в стаціонарному стані є постійним. Однак врахування зростання населення дає змогу пояснити зростання загального обсягу виробництва.

По-друге, врахування зростання населення дає нам додаткове пояснення того, чому одні країни багаті, а інші — бідні. Розгляньмо наслідки зростання населення. На графіку 4-12 показано, що підвищення темпу зростання населення з n1 до n2 зменшує стаціонарний обсяг капіталу на працівника від k1* до k2*- Оскільки k* зменшується, а y* = f(k*), то обсяг продукції на працівника y* також знижується. Отже, з моделі Солоу випливає, що країни з вищими темпами зростання населення матимуть нижчий рівень подушного ВВП

По-третє, зростання населення впливає на рівень нагромадження капіталу за Золотим правилом (рівень капіталу, що максимізує споживання). Щоб зрозуміти, як врахування зростання населення змінює критерій для визначення Золотого правила, завважмо, що споживання на працівника становить:

c = у - і.

Оскільки стаціонарний обсяг виробництва є f(k*) а стаціонарні інвестиції — це (δ+ n)k*, стаціонарний обсяг споживання можна визначити як

с* = f(k*) - (δ + n)k*.

Рівень k*, який максимізує споживання, такий, що:

МРК = δ + n,

або, що рівнозначно,

МРК – δ= n.

У стаціонарному стані, що відповідає Золотому правилу, граничний продукт капіталу мінус норма амортизації дорівнює темпові зростання населення.

Графік 4-12. Наслідки зростання населення. Підвищення темпу зростання населення з n1 до n2 переміщує вгору лінію, що репрезентує зростання населення і амортизацію. Новий стаціонарний стан k2* має нижчий обсяг капіталу на працівника, ніж у вихідному стаціонарному стані k1*. Тому з моделі Солоу випливає, що країни з вищими темпами зростання населення матимуть нижчі обсяги капіталу на працівника, а звідси — і нижчі доходи.

ПРИКЛАД

Зростання населення у світі

Тепер повернімось до питання, чому рівень життя такий неоднаковий у різних країнах. Із щойно проведеного аналізу випливає, що різні темпи зростання населення є однією з відповідей на це запитання. Згідно з моделлю Солоу, країна з високим темпом зростання населення матиме низький стаціонарний обсяг капіталу на працівника, а отже, і низький подушний дохід. Інакше кажучи, високі темпи зростання населення збіднюють країну, оскільки дуже важко підтримувати високий рівень капіталу на працівника, коли кількість працівників швидко зростає. Щоб виявити, чи є докази на користь цього висновку, знову вдаймось до міжнародної статистики.

На графіку 4-13 подано дані для тих самих 84 країн, розглянуті в прикладі 4-6. З графіка видно, що в країнах із високими темпами зростання населення простежуються низькі рівні подушного доходу. Отже, наявний доказ того, що темп зростання населення є одним із визначників рівня життя в країні, - і це збігається з висновком моделі Солоу.

Про цей висновок не забувають державні мужі, які намагаються вивести економічно відсталі країни із зони бідності. Так, експерти, яких надсилає Світовий банк до країн, що розвиваються, найчастіше для прискорення економічного зростання рекомендують зниження народжуваності через поширення знань про методи запобігання вагітності та створення робочих місць для жінок. У Китаї упродовж десятиліть проводилася політика: одна дитина в