Частина 1. АЛГЕБРА

Лекція 1. Множини. Відображення. Відношення

1. Множини

а) Означення множини. Операції над множинами

Множину визначають як довільну сукупність об’єктів, які називають елементами цієї множини. Позначають множини великими латинськими буквами, а елементи множин – малими буквами. Той факт, що а є елементом множини А, або а належить множині А, записують як , а його заперечення позначається. Якщо множина задається перерахуванням її елементів, то вони записуються в фігурних дужках. Наприклад,– множина степенів числа 2, що знаходяться в першій десятці натуральних чисел. Для означення множиниА можна скористатись властивістю, яку мають тільки елементи з А, наприклад, – множина натуральних чисел.

Множину В називають підмножиною множини А, якщо кожен елемент множини В є елементом множини А (В міститься в А). Позначають . Символічний запис:.

Однією із підмножин довільної множини є порожня множина ø, яка зовсім не містить елементів. Для довільної множини А сама множина А і порожня множина називають невласними підмножинами, всі решта підмножини називають власними. Так, множина із двох елементів має чотири підмножини: невласні –і ø та власні –.

Дві множини А та В співпадають (або рівні), якщо вони складаються із одних і тих же елементів. Символічний запис:

або .

Об’єднанням двох множин А та В називають множину, що складається із

всіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин. Символічний запис:

.

Перетином двох множин А та В називають множину, що складається із всіх елементів, які належать обом множинам. Символічний запис:

.

Різницею двох множин А та В називається множина, що складається із всіх елементів, які належать першій із них і не належать другій. Символічний запис:

.

При умові різниця множинназиваєтьсядоповненням множини В до множини А. Позначають доповнення В до А через (С – перша буква французького слова “complement” – доповнення).

Об’єднання різниць таназиваютьсиметричною різницею. Символічний запис: або.

Якщо в певній задачі розглядаються підмножини деякої множини U, то її називають універсальною для цієї задачі. Доповнення її підмножини А до універсальної множини U називають просто доповненням і позначають .

Наочну картину про найпростіші властивості множин дає схематичне зображення їх у вигляді кіл, і такі схеми називають діаграмами Ейлера-Венна. Універсальну множину зображають прямокутником.

Приклади

Заштрихована множина – об’єднання множин А та В, тобто

Заштрихована множина – перетин множин А та В, тобто

Заштрихована множина – різниця множин А та В, тобто

Заштрихована множина – доповнення множини В до множини А, тобто .

Заштрихована множина – симетрична різниця множин А та В, тобто

Заштрихована множина – доповнення підмножини А до універсальної множини U, тобто

б) Основні властивості операцій над множинами

Властивості об’єднання і перетину

1. .

2. .

3. .

4. комутативність об’єднання і перетину (commutatius – переставний (лат.)).

5. ідемпотентність об’єднання і перетину (idem – той самий, potenti – здатний (лат.)).

6. асоціативність об’єднання і перетину (аssotiatіo – сполучення (лат.)).

7. дистрибутивність об’єднання відносно перетину та перетину відносно об’єднання.

Доведемо для прикладу останню властивість.

Властивості різниці множин

1. .

2. .

3. .

4. ø.

5. .

6. .

Властивості доповнень множин

1. .

2. ø.

3. .

4. .

5. .

Властивості порожньої множини

1. ø.

2. ø = ø.

3. ø =А.

4. ø ø = ø.

5. ø ø = ø.

в) Прямий (декартів) добуток множин

Нехай А та В – довільні множини. Пару (а,b) елементів взятих в даному порядку, називаютьвпорядкованою парою. Дві впорядковані пари тарівні тоді і тільки тоді, коли рівними є їх відповідні елементи, тобто

Прямим або декартовим добутком множин А та В називається множина всіх упорядкованих пар (а,b) елементів, із яких перший належить першій множині А, а другий – другій множині В. Символічний запис:

Приклад

Очевидно, що операція декартового множення є некомутативною. Множину називають декартовим квадратом і позначають,– декартовим кубомі т.д.

Прямим або декартовим добутком множин називається множина всіх упорядкованих сукупностейп елементів, із яких перший належить першій множині , другий – другій, і т.д., останній –.

Якщо , то матимемо

– п-ий декартів степінь множини А. Елементами є рядки довжиноюп.

Приклад

– множина всеможливих точок дійсного тривимірного простору (декартів куб).