1. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

Теорема 1 ( правило Лопіталя). Нехай функції івизначені в проміжкуі. Нехай, крім того, в проміжкуіснують скінченні похідніі, причому. Тоді, якщо існує границя, то існує й границя, причому

.

Доведення. Доозначимо в точці функціїі, поклавши. Тоді на відрізкуфункціїізадовольняють умовам теореми Коші. Отже,

,

де . Якщо, то зрозуміло, що й. Враховуючи, щоі те, що існує границя, робимо висновок

.

Зауваження. Якщо похідні ізадовольняють умовам, котрі накладаються в наведеній теоремі на функціїі, то правило Лопіталя можна застосувати повторно, тобто

.

Теорема 1 справджується й тоді, коли . Нехай функціїівизначені в проміжку,, і в проміжкуіснують скінчені похідніта, де. Тоді, якщо існує границя, то існує й границя, причому

.

Для доведення цього твердження достатньо покласти і застосувати теорему 1.

Теорема 2 (правило Лопіталя). Нехай функції івизначені в проміжку,і в проміжкуіснують скінчені похідніта, причому. Тоді, якщо існує границя, то існує й границя, причому

.

Доведення цієї теореми можна прочитати, наприклад, в книзі Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, т. 1.  М.: Наука, 1964. Теорема 2 має місце також, коли .

Правило Лопіталя дає можливість розкривати невизначеності типу .

Приклади.

1. 

2. 

2. Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .

Правило Лопіталя можна застосовувати при розкритті невизначеностей вигляду .

Приклади.

1. 

.

2. 

.

3. .

4. 

Знайдемо .

Отже, .

5. .

Знайдемо

.

Отже, .

ЛЕКЦІЯ 20

23. Формула Тейлора для многочлена.

24. Формула Тейлора для довільної функції.

1. Формула Тейлора для многочлена. Розглянемо многочлен

,

де  дійсні числа. Продиференціюємо многочлен раз.

Якщо в наведених формулах покласти , то одержимо

Отже, можна записати

(1)

Нехай маємо многочлен за степенями, де деяке стале дійсне число, тобто

,

де  дійсні числа. Поклавши , матимемо

.

Звідси аналогічно до попереднього, одержимо

(2)

Формула (1) є окремим випадком () формули (2). Кожну із цих формул називають формулою Тейлора. Формулу (1) інакше називають формулою Маклорена.

6.2. Формула Тейлора для довільної функції

Теорема Тейлора. Нехай функція в точціі в деякому її околі має похідні- го порядку. Нехай такождеяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка, яка лежить між точкамиі, така, що

₍₃₎

Доведення. Позначимо

Покладемо

Покажемо, що існує точка така, що

.

Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки. Для визначеності уважатимемо, що. Нехай змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію

.

Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:

1. неперервна на ,

2. диференційована на ,

( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію)

3. на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно

Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що. Знайдемо.

Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то

.

Далі маємо:

.