- •1. Ділення на множині цілих чисел.
- •1. Відношення подільності та його властивості.
- •2. Ділення з остачею.
- •3. Задачі:
- •2. Найбільший спільний дільник. Алгоритм евкліда.
- •2. Алгоритм Евкліда.
- •3. Задачі:
- •3. Найменше спільне кратне.
- •4. Прості і складені числа.
- •1. Прості числа і їх властивості.
- •2. Розклад складених чисел на прості множники.
- •5. Нескінченість множини простих чисел. Решето Ератосфена.
- •4.3Адачі:
- •5. Варіанти контрольних робіт.
4.3Адачі:
1. За допомогою канонічного розкладу знайти НСК чисел:
а) 187, 533; б) 32176, 162891; в) 2737, 9163, 9639.
2. Дослідіть, чи є простим числом 1093?
3. За допомогою решета Ератосфена знайдіть прості числа від 2 до 300,
4. Знайдіть прості числа, які лежать між 2680 і 2710.
5. За допомогою канонічного розкладу знайти НСД чисел:
а) 349, 387; б) 12606, 6494; в) 29719, 76501; г) 2737, 9163, 9639.
6. Знайти канонічний розклад чисел:
а) 82798848; б) 4497552259200; в) 67463283888000.
5. Варіанти контрольних робіт.
Варіант №1.
1. Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = 131, b = 31.
2. При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти bі r , якщо а = 100, r= 6.
3. При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо а = 371, q= 14.
4. Знайти загальний вид усіх чисел, які при діленні на 7 дають остачу 3.
5. Довести, що з двох послідовних парних чисел одне і тільки одне ділиться на 4.
6. Довести, що для довільного цілого числа п .
7. Знайти всі прості числа, що містяться між числами 100 і 150.
8. Знайти канонічний розклад числа 1001.
9. Довести нескінченність множини простих чисел виду р = Зк + 2 , .
10. Знайти НСД чисел 3059, 2737, 943.
11. Знайти найменше спільне кратне чисел 126, 420, 525.
12. Знайти натуральні числа а і b, якщо а + b = 150, (а, b)= 30.
13. Довести, що (а, а+1) = (а +1, 2а+1) = (а, 2а + 1) = 1.
14. Довести, що , якщо .
Варіант №2.
1. Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = 31, b=131.
2. При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 148, r = 37.
3. При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо a=826, q=83.
4. Знайти загальний вид усіх чисел, які при діленні на -4 дають остачу 1.
5. Довести, що з семи послідовних цілих чисел одне і тільки одне ділиться на 7.
6. Довести, що для довільного цілого числа п
7. Знайти всі прості числа, що містяться між числами 150 і 200.
8. Знайти канонічний розклад числа 1009.
9. Довести нескінченність множини простих чисел виду р = Зк + 1 , .
10. Знайти НСД чисел: 2737, 9163, 9639.
11. Знайти найменше спільне кратне чисел: 91, 252, 462.
12. Знайти натуральні числа а і b, якщо: а∙b = 8400; (а, b) = 20.
13. Довести, що (а, 2а+1) = (а, 2а-1) = 1.
14. Довести, що , якщоn+1 є кубом деякого натурального числа.
Варіант №З.
1. Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = - 131, b = 31.
2. При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 298, r=10.
3. При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо а = 441, q = 25.
4. Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на 2.
5. Довести, що добуток чотирьох послідовних чисел ділиться на 24.
6. Довести, що для довільного цілого числа п .
7. Знайти всі прості числа, що містяться між числами 200 і 250.
8. Знайти канонічний розклад числа 1769.
9. Довести нескінченність множини простих чисел виду р = 4к + 1 , .
10. Знайти НСД чисел: 299, 391, 667.
11. Знайти найменше спільне кратне чисел: 84, 147, 245.
12. Знайти натуральні числа а і b, якщо: ; (a,b) = 45.
13. Довести, що (14а+3, 21а+4) = 1.
14. Довести, що , якщо а — ціле, а .
Варіант №4.
1. Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = -31, b=131.
2. При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 497, r= 16.
3. При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо: а = 57, q = 0.
4. Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на -3.
5. Довести, що квадрат непарного цілого числа при діленні на 8 дає остачу 1.
6. Довести, що для довільного цілого числа п .
7. Знайти всі прості числа, що містяться між числами 250 і 300.
8. Знайти канонічний розклад числам 1800.
9. Довести нескінченість множини простих чисел виду р = 4к + 3 , .
10. Знайти НСД чисел: 588, 2058, 2849.
11. Знайти найменше спільне кратне чисел: 1058, 1403, 3266.
12. Знайти натуральні числа а і b, якщо: (а, b) = 4, [а, b] = 24.
13. Довести, що (b-а, b) = 1, якщо (а, b)=1.
14. Довести, що тоді і тільки тоді, коли, де а і b — цілі, .
Варіант №5.
1. Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а= 131, b = -31.
2. При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q, якщо a = 28, r = 2.
3. При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо: а=13127, q=121.
4. Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на 8.
5. Довести, що сума квадратів двох послідовних цілих чисел при діленні на 4 дає остачу 1.
6. Довести, що для довільного цілого числа n .
7. Знайти всі прості числа, що містяться між числами 300 і 350.
8. Знайти канонічний розклад числа 3551.
9. Довести нескінченність множини простих чисел виду р = 6к + 3 , .
10. Знайти НСД чисел: 31605, 13524, 12915.
11. Знайти найменше спільне кратне чисел: 356, 1068, 1424.
12. Знайти натуральні числа а і b, якщо: a+b=667; [a, b] = 120(a, b).
13. Довести, що (а+b, аb) =1, якщо (а, b) =1.
14. Довести, що =1.
Варіант №6.
1. Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а=31,b = -131.
2. При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 14, r = 14.
3. При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо: а =100, q=100.
4. Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на 2 і на 3.
5. Довести, що сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом цілого числа.
6. Довести, що для довільного цілого числа n .
7. Знайти всі прості числа, що містяться між числами 350 і 400.
8. Знайти канонічний розклад числа 82798848.
9. Довести нескінченність множини простих чисел виду р = 6к + 5 , .
10. Знайти НСД чисел: 42598, 2324, 498.
11. Знайти найменше спільне кратне чисел: 819, 702, 689.
12. Знайти натуральні числа а і b, якщо: , [a, b] = 975.
13. Довести, що (а+b, а-b) = 1 або 2, якщо (а, b)=1.
14. Довести, що з п'яти послідовних цілих чисел завжди можна вибрати одне, взаємно просте з усіма іншими.