Вопрос 40. Генеральная и выборочная совокупность.

Генеральной совокуп. назыв. совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению при статистич. анализе.

В математ. статист.генер. совокуп. часто понимается как совокуп. всех мыслимых наблюдений, которые могли быть произведены при выполнении некоторых условий. Понятие генер. совокуп. аналогично понятию случайной величины (закону распределения вероятностей), так как обе они полностью определяются заданными условиями.

Генер. совокуп. может быть конечной или бесконечной.

Объемомгенер. совокуп. назыв. число ее объектов (наблюдений).

Выборочной совокупностьюназывается часть объектов генер. совокуп., используемая для исследования.

Сущность выбор.метода в матем. статистике заключ. в том, чтобы по определ. части генеральной совокупности (выборке) судить о ее свойствах в целом.

Выборочный метод явл. единственно возможным в случае бесконечной генеральной совокупности или когда исследование связано с уничтожением (гибелью) наблюдаемых объектов. Для того чтобы по выборке можно было адекватно судить о случайной величине, она должна быть представительной (репрезентативной.)Репрезентативность выборки обеспечивается объемом выборке и случайностью отбора ее элементов, так как все элементы генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку.

Имеются 2 способа образования выборки:

1. повторная выборка,когда каждый элемент, случайно отобранный и исследованный, возвращается в общую совокупность и может быть отобран повторно;

2. бесповторная выборка, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

2. Алгебра событий.

Пространством элементарных событий наз. множество всех элементарных исходов, относящихся к заданному опыту.

Суммой (или объединением) 2 событий называетсясобытие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие событиям или.

Произведением (или пересечением) 2 событий называется событие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие одновременно событиям и.

Событие наз. противоположным событию , если событиюблагоприятствуют все те элементарные исходы, которые не являются благоприятствующими для события.

ТЕОРЕМА. Сумма вероятностей противоположных событий = 1.

ТЕОРЕМА. Если события исовместны, вероятность суммы событий = сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

11.Формула Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно r раз (безразлично, в какой последовательности), равна .

или

где q=1-p

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее * раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам:

30.Нормальный закон распределения Непрерывная случайная величина х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид

.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой.

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный , и две точки перегибас ординатой.

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, ,.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле

,

где .

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал определяется формулой

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна

.

«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и т.е., то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

.

Асимметрия нормального распределения А = 0; эксцесс нормального распределения Е = 0.

36. Неравенства Маркова и Чебышева

Лемма 1 (неравенство Маркова). Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т.е. . Тогда для любого

,

где М(Х) — математическое ожидание Х.

Следствие 1. Так как события ипротивоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде

.

Лемма 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого

.

Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого

.