21. Понятие несобственного интеграла.

Опред. нтеграл от а до в ф-ии f(x), где промежуток интегрирования конечен (отрезок), называется собственным интегралом (f(x) непрерывна на [а,в]

Несобственный интеграл-опред. интеграл от непрерыв. ф-ии ,но с бесконечным промежутком интегрирования,или опред. интеграл с конечным промежутком интегрирования, но подинтегр.ф-ия имеет на нем бесконечный разрыв.

Пусть ф-ия f(x) непрерывна на интервале [а,+∞),если сущ-т конечный предел при в+∞,

в

то lim ∫f(x)dх (при в+∞)– несобств. интеграл первого рода

а

+∞ в

∫ f(x)dх= lim ∫f(x)dх (при в+∞)

а а

Если такой предел сущ-т, то говорят, что интеграл сходится,если нет-расход.

Аналогично вводится понятие несобст.инт. от (-∞,в]

22. Определение двойного интеграла. Теорема о сущ двойного интеграла.

1. Дана обл D на пл-ти XOY; 2 Пусть фун-я Z – это фун-я от x и y. Z=f(x,y) задана в обл D на n частей(ячеек).(график)

Обозначим ячейки через ∆ij. Возьмём произвольную ячейку ∆ij (i=1,n+1; j=1,m+1).Диаметром ячейки наз точечная верхняя грань (sup) между 2-мя произ точками ячейки dij= sup( ρ,М1,М2) для любого М1и М2 принадлеж ∆ij. Любая Мij(i=1,n+1,j=1,m+1) точка ячейки. N(m+1)(n+1) f(xij,yij)- mes (площадь) ∆ij

n+1 m+1

S^N=∑ ∑ f(xij, yij) mes ∆ij –интегральная сумма фун-и f(x,y) по обл D.

i=1 j=1

Предел интегр суммы, при усл, что lim S ^N=∫∫ f(x,y)dxdy ;

maxdij→0

max dij→0(N→∞),если он сущ .он наз двойным интегралом и обознач ∫∫f(x,y)dxdy

Теорема: если фун-я f(x,y) кусочно-непрерывна в области D,а обл D ограничена и её граница гладкая линия ,то двойной интеграл существует.

23. Сведение двойного интеграла к повторному.

Пусть обл. D огр. Линиями х=а,х=в,у=φ₁,у= φ₂

а≤в, φ₁(х) ≤ φ₂(х)

введем вспом. интеграл

в φ₂(х)

I= ∫(∫f(х,у)dу) dх – двукратный (повтор.инт.)

а φ₁(х) φ₂(х)

1.вводим ф-ию φ(х)= ∫f(х,у)dу

φ₁(х)

вычисляем интеграл,считая х-константой

в

2.вычисл.сам инт-л І=∫φ(х)dх

а

Теорема:дв.интеграл от ф-ии f(х,у) по прав. обл-ти D равен двукратному инт-лу от этой ф-ии по обл.D.

в φ₂(х)

∫∫ f(х,у) dх=∫(∫f(х,у)dу) dх

D а φ₁(х)

24. Функция 2-х переменных.

Пусть дано множество D упорядоченных пар чисел, кот. образуют область определния. Соответствие f ,кот. паре чисел x,y ставит число R.

f:(x,y)→R

такое соотв-е А наз. функцией от 2-х переменных, определенной на обл. D со значениями в R.

f:D→R

x,y – независимые переменные

z – зависимая переменная

z = f(x,y)

D—обл. определения ф-и

Z—обл. значения(обл. изменения ф-и) и обозначается E(f).

Ф-я z = f(x,y), где (x,y)€D можно рассм. как ф-ю точки M(x,y) коорд. плоскости xoy.

Линию, ограничивающую обл. наз. границей обл. Точки обл. , не леж. на границе наз. внутренними. Обл. , состоящую из одних внутр. точек наз. открытой. Обл. с присоед. к ней границей наз. замкнутой и обозн. Ď.

Частное знач. ф-и от 2-х переменных

Знач. ф-и z = f(x,y) в т. M_о (x0, y0) обозн. как z0 = f(x0,y0)= f(M0) и наз. частным знач. ф-и.