10.Интегрирование рациональных дробей.

∫Q_x/P_xdx. Интегрирование рациональных дробей сводится к нахождению интегралов типа:

1. ∫dx/(x+k); 2. ∫dx/(x+k)^m=∫(x+k)^md(x+k); 3. ∫(bx+c)/(x²+bx+c)dx→∫du/(u²+a²)=∫1/aarctg(u/a)+c; 4. ∫(bx+c)/(x²+bx+c)^mdx=I_m.

Зная I_m, находим I_m+1. Выводим рекуррентную формулу (Формулу зависимости интегралов I_m и I_m+1 ).

∫(Bx+c)/(x²+bx+c)^m=B∫udu/(u²+a²)^m+ C₁∫du/(u²+a²)^m, x²+bx+c=u²+a², gde u=x+b/2 a=c-b²/4. I_m=∫dt/(t²+a²)^m=[dv=dt, v=t, u=1/(t²+a²)^m→du=-2mtdt/(d²+a²)^m+1]=t/(t²+a²)^m+2m∫t²dt/(t²+a²)^m+1.(*)

∫t²dt/(t²+a²)^m+1=∫((t²+a²)-a²)/(t²+a²)^m+1dt=∫dt/(t²+a²)^m –a²∫dt/(t²+a²)^m+1. (*)=t/(t²+a²)^m +2mI_m-2ma²I_m+1. 2ma²I_m+1=t/(t²+a²)^m+I_m(2m-1). I_m+1=1/2ma2*t/(t²+a²)^m+I_m(2m-1)/2ma² –Рекурентная формула.

11.Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций.

Т.к. любую тригоном-ую ф-ию можно выразить через sin и cos, то любую рац-ую ф-ию , завис.от тригоном., можно свести к ф-ии от sin или cos. R(x,sinx,cosx). При интегр-ии ф-ии данного вида в общем случае использ. подстановка t=tg x/2, x=2arctgt =>dx=2t/1+t², sinx=2sin x/2 ∙cos x/2· 1/cos² x/2=2tg x/2 /sec² x/2=2t/1+t² (sec=1/cosx, cossec=1/sinx ).cosx=cos² x/2-sin² x/2=(1-tg² x/2)/sec² x/2=(1-t²)/(1+t²).Подставив получ.выв-я в инт-л мы перейдем к рац-ой дроби.

12.Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.

Рассм. Ф-ии вида:1. ∫R(x,((ax+b)/(cx+d))^p1/q1; ,((ax+b)/(cx+d))^pn/qn)dx. (ax+b)/(cx+d)=tⁿ, n-наим.общ.кратное среди знамен. степеней. 2. ∫x^m∙(a+bxⁿ)^pdx. Если p-целое число, то раскладывается по ф-ле Бинома Ньютона. Если (m+1)/n- целое число, то a+bxⁿ=t^s, s-знаменатель дроби p. Если (m+1)/n- нецелое число, то проверяем (m+1)/n+p, если оно целое, то ax^-n+b=t^s,s-знаменатель дроби p.

13 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

∫℮ˉ^x² dx – вероятностный интеграл

∫sin (x)² dx и ∫cos (x)² dx – интегралы Френеля

∫sin (x) dx и ∫cos (x) dx - интегральные sin и cos

x x

∫℮^x dx – интеграл показательной функции

x

∫dx – интегральный логарифм

ln x

14.Нижняя и верхняя интегр-ая суммы.

Мы имеем нек-ую ф-ю f(х) непрерывную на отр.[a:b].(график)

а = х₀<x₁<x₂<…<x_n=ā

∆x₁=x₁-x_0….

∆x_n=x_n-x_n-1

M – наиб.знач.ф- -и f(x)Є[a;b],m –

наим.знач.ф-иf(x)Є[a;b]

M₁,m₁ – знач.ф-и на первом отрезке.S_n –нижняя интегр-я сумма(НИС),S־ – верхняя интегр-я сумма(ВИС).

S_n=m₁·∆x₁+m₂·∆x₂+...+m_n·∆x_n=∑ⁿ_i=1m₁·Δx_i

S_n־=M₁·Δx₁+…+M_n·Δx_n=∑_iⁿ₌₁M_i·Δx_i

НИС=Sвпинсанной ступенчатой фигуры.ВИС=описанной ступенч.фигуре.Св-ва:1.т.к. для любогоi=(-1;n)m_i≤m,тоНИС=m(b-a)

2.т.к.M_i≤M,то ВИС=M(b-a).

m(b-a)≤НИС≤ВИС≤M(b-a).

15.Понятиеопредел.Интеграла(ои),теорема об интегрируемости ф-и.

График

Имеем непрер.ф-юf(x)Є[a;b].Осущесвили разбиение на отрезки а=х₀<x₁<x₂<…<x_n=b.На отр.[x₀;x₁] выбираем точку X₁ и так для каждого отр. Находим суммуf(X_i)ΔXi:

S_n=∑ⁿ_i=1f(X_i)ΔX_i. Каждому разбиению отр. На n элементных отр.соответствует бесконечно много числ. знач. интегр-ой суммы S_n.Каждому знач.n соотв-т бесконечно много разбиений отр.[a;b] на n элем-ых отр.в каждом.Отсюда следует,что S_n зависит не только от f(x)Є[a;b],но и от числа n.Допустим,что при maxΔx_i→0(n→0)S_n имеет предел с.Данный предел с и назыв.ОИ от f(x)Є[a;b],а сама сумма – интегрир-ой на отр [a;b].

∫_a^bf(x)dx – ОИ от ф-и f(x) на [a;b] есть предел,к кот-му стремится S_n,сост-я для этой ф-и на отр.,когда наиб-ая длина элем-ых отрезков(на к-ые разбит[a;b])стремится к 0:

∫_a^bf(x)dx=limS_n

^maxΔx_i^→0

^n→∞

а – нижний предел интегр-ия,b – верхний предел интегр-ия [a;b] – отрезок интегр-я,х – переменная интегр-я,динтегр-ая ф-ия.

Теорема: если ф-ия y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.