Крутизна (заостренность) графика распределения характеризуется нормированным моментом четвертого порядка:
r = |
µ |
4 |
= |
(x |
− x)4 |
. |
|
|
i |
|
|||||
σ 4 |
σ 4 |
||||||
4 |
|
|
|
||||
Для нормального распределения σµ44 = 3, поэтому для оценки
крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения
Ex = σµ44 −3.
y |
Ex > 0 |
|
Ex =0
Ex < 0
0 |
x |
Рис. 23. Эксцесс распределения
Покажем это на примере метража пробегания игроков различного амплуа и команд в целом, показанных в играх (n=52) Чемпионата Европы по футболу 2008 г.
Таблица 5
Показатели коэффициента асимметрии и эксцесса
Пробег |
x |
σ |
r3 |
Ex |
Команда в целом, м |
11606,3 |
10221,8 |
2 |
3,4 |
|
|
|
|
|
Нападающие, м |
23374,6 |
7140,8 |
0,0 |
-0,2 |
|
|
|
|
|
Полузащитники, м |
45038,5 |
12969,0 |
0,33 |
-0,3 |
|
|
|
|
|
Защитники, м |
38484,3 |
11443,7 |
-0,89 |
1,9 |
|
|
|
|
|
Из представленных результатов (см. табл. 5) можно заключить, что по коэффициенту асимметрии в двух случаях из четырёх (пробег игроков команды в целом и полузащитников)
74
преобладают варианты большие, чем средняя, то есть скошенность правосторонняя. В одном случае (пробег защитников) – меньшие, чем средняя, и скошенность левосторонняя, а в перемещениях нападающих наблюдаем симметричное распределение.
Представленные расчёты позволяют говорить о характере отклонений генеральной совокупности, из которой взяты наши примеры, и проверить гипотезу о нормальности её распределения. Это в свою очередь способствует выбору соответствующих (параметрических или непараметрических) методов обработки результатов.
В качестве показателя асимметрии применяется и
коэффициент асимметрии Пирсона представляющий собой отношения разности между выборочной средней и модой к среднему квадратическому отклонению:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ka = |
x − Mo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если Ka > 0 , скошенность правосторонняя (как и для r3) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Ka < 0 – левосторонняя, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Ka = 0 – вариационный ряд симметричен. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Рассмотрим достижения «Спартака» по числу набранных |
|||||||||||||||||||
очков за 16 сезонов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = |
922 |
≈ 57,625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
36 |
|
40 |
43 |
50 |
53 |
55 |
|
56 |
|
58 |
|
59 |
60 |
63 |
70 |
72 |
73 |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mo = 59
x − Mo = 57,6 −59 = −1,4 < 0 - асимметрия левосторонняя. Сравним с достижениями «Москвы» с 2001 по 2007 гг.:
х |
28 |
29 |
31 |
40 |
43 |
50 |
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 39
Mo = 40
75
x − M o = 39 − 40 = −1 < 0 и асимметрия тоже левосторонняя.
Итоги сезона в Германии 2006-2007
x = |
839 ≈ 46,61 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
Mo |
= 44 (9-10 места из 18) |
|
|
|
x − Mo = 46,61−44 = 2,61 > 0 |
- |
скошенность |
правосторонняя, |
|
следовательно, в сторону сильных клубов.
Итоги сезона в России. 2006 год
x = 64416 ≈ 40,25
Mo = 41 (8-9 место)
x − Mo = 40,25 −41 = −0,75 < 0 - скошенность левосторонняя в
сторону слабых.
Италия 2006-2007
x =102620 ≈ 51,3
Mo = 46 (10 место)
x − Mo = 51,3 −46 = 5,3 > 0 - скошенность правосторонняя.
Испания 2006-2007
x =104220 ≈ 52,1
Mo = 50 (10 место)
x − Mo = 52,1−50 = 2,1 > 0 - скошенность правосторонняя.
Англия 2006-2007
x =104220 ≈ 52,1
Mo = 52 (10 место)
x − Mo = 52,1−52 = 0 - симметричны.
Россия 2005
x = 65116 ≈ 40,7
76