эмпирических распределений (среднее арифметическое (х); медиана (Ме); мода (Мо)), показатели их рассеивания (дисперсия (D); стандартное отклонениеσ);( коэффициент вариации (V) и асимметрии (коэффициент асимметрии (As); коэффициент эксцесса (Ex)).

12.1. Характеристики положения

А) выборочная средняя.

Выборочная средняя или просто среднее арифметическое принято обозначать той же буквой, что и варианты наблюдений, но над этой буквой ставится символ усреднения – черта. Например, если обозначить исследуемый признак через х, то среднее арифметическое будет обозначаться – х.

Выборочная средняя может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по сгруппированным показателям. Точность вычисления по необработанным данным всегда выше, но процесс вычисления оказывается трудоемким при большом объеме наблюдений.

Выборочная средняя рассчитывается по формуле:

где n – объем выборки (наблюдений); хi – варианты наблюдений; Σ - знак суммирования.

Если данные представлены в виде вариационного ряда, то применяется формула:

x = ∑nxi mi ,

где mi – частоты разрядов; xi – срединные значение разрядов.

Для практического расчета среднего арифметического x воспользуемся данными, приведенными в примере с бюджетами клубов суперлиги по хоккею на 2008/09 гг.

Таблица 2

Бюджет клубов КХЛ на 2008/09 гг.

Таким образом, средний бюджет клубов КХЛ в сезоне 2008/09 составил 24,92 млн.$.

Второй подсчёт осуществляется по сгруппированным данным:

Б) Мода и медиана.

Существуют ещё две важные характеристики положения вариационного ряда – мода и медиана.

66

Модой (Мо) является число, наиболее часто встречающееся в вариационном ряду. В нашем примере с бюджетом – это 50 млн.$, такой бюджет у трёх клубов суперлиги.

Медианой (Ме) называется вариант xl такой, что

Медиана обладает тем свойством, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от выборочного среднего).

Предлагается ввести понятие ранжированной медианы. Медиана - это такое значение признака, которое делит ранжированный ряд пополам. Рассмотрим данные о результативности знаменитого нападающего Ярославского «Локомотива» Алексея Яшина в сезоне 2008-09 гг.

Таблица 3

Количество голов, забитых А.Яшиным в регулярном чемпионате КХЛ 2008/2009 гг. (по месяцам)

В рассмотренном случае Ме = 4, так как

3 + 3 +4 +5= 15 ≥ 232 и 5+4 + 4= 13 ≥ 232

Таким образом, А. Яшин за период с сентября по декабрь забил столько голов, сколько за оставшиеся три месяца регулярного чемпионата, что свидетельствует о стабильности игрока и способности улучшить результативность к решающим играм в плей-офф.

В нашем примере с прыжком в высоту у волейболистов (см. выше), медиана при ранжировании будет иметь ранг равный 18. А выраженная в результатах – 52 см.

67

Г) средняя геометрическая.

Используется для анализа динамики явления и позволяет определить средний коэффициент роста.

xгеом = nx1 x2 xn

При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики. Покажем это на примере роста набранных очков и результативности лучших команд России за последние четыре года.

1°. Зенит

2°. Спартак

3°. ЦСКА

4°. Москва

Наихудший показатель среднего геометрического у ЦСКА, что, наверное, могло бы быть основанием для замены главного тренера. Это и произошло, но только спустя сезон.

Существует правило мажорантности средних, которое впервые сформулировал профессор А.Я. Боярский.

70