- •1.Упругие волны Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Стоячие волны. Эффект Доплера в акустике.
- •Уравнение плоской волны.
- •Стоячие волны.
- •Эффект Доплера в акустике.
- •2.Ультразвук Ультразвук. Источники и приемники ультразвуковых волн. Применение ультразвука.
- •Электромагнитные колебания
- •3.Свободные колебания в lc-контуре. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.
- •4. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.
- •5. Резонанс напряжений и резонанс токов.
- •Основы теории максвелла для электромагнитного поля.
- •6.Общая характеристика теории Максвелла. Вихревое магнитное поле. Ток смещения.
- •7.Уравнения Максвелла в интегральном виде.
- •Электромагнитные волны
- •8.Экспериментальное получение электромагнитных волн. Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Энергия электромагнитных волн. Давление электромагнитных волн.
- •Геометрическая оптика
- •9. Основные законы геометрической оптики. Фотометрические величины и их единицы.
- •10. Преломление света на сферических поверхностях. Тонкие линзы. Формула тонкой линзы и построение изображений предметов с помощью тонкой линзы.
- •11.Световые волны
- •12.Интерференция света при отражении от тонких пластинок. Полосы равной толщины и равного наклона.
- •13. Кольца Ньютона. Применение явления интерференции. Интерферометры. Просветление оптики.
- •14.Дифракция света
- •15. Дифракция света на круглом экране и круглом отверстии.
- •16.Дифракция света на одной щели. Дифракционная решетка.
- •17. 18. Взаимодействие света с веществом. Дисперсия и поглощение света. Нормальная и аномальная дисперсия. Закон Бугера-Ламберта.
- •19.Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Степень поляризации. Закон малюса.
- •20.Поляризация света при отражении и преломлении. Закон брюстера. Двойное лучепреломление. Анизотропия кристаллов.
- •21. Эффект доплера для световых волн.
- •22.Тепловое излучение. Свойства равновесного теплового излучения. Абсолютно черное тело. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Законы Кирхгофа, Стефана- Больцмана, Вина.
- •23. Элементы специальной теории относительности Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.
- •2. Длительность событий в разных системах отсчета.
- •24. Основные законы релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.
Электромагнитные колебания
3.Свободные колебания в lc-контуре. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.
Электромагнитными колебаниями называются переодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы Е и Н. Наиболее распространенной электрической цепью, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, рис.1.
- С+ I=dq/dt
+
φ2 φ1> φ2
R L
K Ec =-LdI/dt
I
Рис.1.
Если сопротивление R мало (R→0) электрический контур является идеальным (LC – контур). При R≠0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.
Свободные колебания в LC-контуре. Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе зарядим конденсатор. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого WC = q2/2C. После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, зато возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Энергия магнитного поля WL=LI2/2. Если R = 0, то в момент когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия WC обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а следовательно и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока станет равной нулю. После этого те же процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова и снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения) сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.
Будем обходить контур против часовой стрелки. При возрастании значения заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока
I = dq/dt. (1)
Для расчета электрической цепи запишем закон Ома
IR = φ1 – φ2 + EC. (2)
Поскольку разность потенциалов между обкладками φ1 – φ2 =q/C, а э.д.с. самоиндукции Ec =-LdI/dt, то равенство (2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t):
Ld2q/dt2 +Rdq/dt + q/C = 0. (3)
Если учесть, что R = 0, и использовать стандартные обозначения для собственной частоты ω0 гармонических колебаний:
ω0 = 1/√LC, (4)
то уравнение (3) примет вид
d2q/dt2 + ω02q = 0. (3а)
Решением уравнения (3а) является функция
q = qmcos(ω0t + α). (5)
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0 = 1/√LC, которая называется собственной частотой контура, она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.
Из (4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):
T = 2π√(LC). (6)
Используя известную формулу q = UC и (5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:
U = (1/C)qmcos(ω0t + α) = Um cos(ω0t + α). (7)
Продифференцировав функцию (5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:
I = - ω0qm sin(ω0t + α) = Im cos(ω0t + α + π/2). (8)
Из (8) видно, что сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. Сопоставление формул (5), (7) и (8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях.
Um=qm/C, Im = ω0qm, Um = Im√(L/C).
Свободные затухающие колебания. Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R≠0, то введя обозначение β=R/(2L) уравнение (3) можно переписать следующим образом
d2q/dt2 + 2βdq/dt + ω02q = 0. (9)
(9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.
При условии, что β<ω0 решение уравнения (9) для заряда q имеет вид затухающих колебаний:
q = qm e-βt cos(ωt + α), (10)
где ω = √( ω02 – β2) - частота затухающих колебаний.
После подстановки в последнее выражение значений для ω0 и β, получим
ω = √(1/LC – R2/4L2). (11)
Т.О., ω<ω0. При R = 0 выражение (11) переходит в (4).
Колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с периодом
Т = 2π/ω и убывающей амплитудой qm (t) = qmexp(-Rt/2L), рис.2.
q
t
Рис.2.
Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации
τ = 1/β = 2L/R,
т.е. индуктивность является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.
Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока
I = dq/dt = qm e-βt [-βcos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].
Это выражение можно преобразовать к виду
I = Ime-βtcos(ωt + α +Δ) (12)
Из (12) видно, что сила тока также затухает со временем, однако колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.
Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания
λ = ln a(t)/a(t+T) = βT, (13)
где a(t) – амплитуда соответствующей величины (q,U или I). Вспомним, что λ = 1/Ne, где Ne- число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
Подставив в (13) значение для β=R/2L и Т=2π/ω, получим
λ = (R/2L)(2π/ω) = πR/Lω, (14)
т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L,C и R и является характеристикой контура.
Если затухание невелико (β<<ω0), то в (14) можно считать ω ≈ ω0 =1/√LC. Тогда
λ ≈ (πR/L)√(LC) = πR√(C/L).
Это выражение по форме аналогично закону Ома (U = I/R), поэтому величину √(C/L), которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлением.
Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания
Q = π/λ = πNe. (15)
Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания
Q = (1/R)√(L/C).
Отметим, что при β2 ≥ ω02 вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rk определяется условием Rk2/4L2 = 1/LC, откуда
Rk = 2√(L/C).