16.Дифракция света на одной щели. Дифракционная решетка.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна, рис.2.

Рис.2.

Поместим за щелью собирательную линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости.

Когда фронт волны дойдет до щели и займет положение MN, то все его точки являются новыми источниками волн, распространяющихся во все стороны вперед от щели. Рассмотрим волны, распространяющиеся от точек плоскости MN в направлении, составляющем некоторый угол j с первоначальным. Эти волны, проходя через линзу, сойдутся в некоторой точке B на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Лучи, распространяющиеся от щели под различными углами, в результате интерференции дадут дифракционную картину.

Опустим из точки M перпендикуляр MF на направление выделенного пучка лучей. Тогда от плоскости MF и далее до фокальной плоскости Е параллельные лучи не меняют своей разности хода. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает лишь на пути от исходного фронта MN до плоскости MF и различна для разных лучей.

Для расчета интерференции всех этих лучей применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию NF на ряд отрезков длиной l/2. На расстоянии NF = аsinj уложится

Z = (аsinj)/(l/2) (1)

таких отрезков. Проводя из концов этих отрезков линии, параллельные MF, до встречи их с MN, мы разобьём фронт волны в щели на ряд полосок одинаковой ширины. Эти полоски и являются в данном случае зонами Френеля. Отсюда следует, что волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в точку B в противоположной фазе и гасят др. др. Если число зон четное, Z = 2k (где k - целое число, неравное нулю), то каждая пара соседних зон взаимно погасит др.др., так что при данном угле j на экране будет минимум освещенности. Углы j, соответствующие этим минимумам освещенности, находятся из условия:

аsinj_min = 2kl/2. (2)

В промежутках между минимумами наблюдаются максимумы освещенности при углах j, определяемых из условия

аsinj_max = (2k + 1)l/2. (3)

Для этих углов фронт MN разбивается на нечетное число зон Френеля Z = 2k +1 и одна из зон остается непогашенной. Амплитуда в этом случае будет составлять долю ~ 1/(2k+1), а интенсивность ~ 1/(2k+1)² от суммарной амплитуды, создаваемой всеми зонами фронта MN.

Центральный максимум будет расположен в точке О против центра щели. По обе стороны от него интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем увеличиваться до следующего максимума, см. рисунок. На экране Е будут наблюдаться перемежающиеся светлые и темные полосы с постепенными переходами между ними. Центральная полоса будет наиболее яркой, а освещенность боковых максимумов будет убывать от центра к переферии.

Ширина и число этих полос будут зависеть от отношения l/а. Из (1) видно, что

z_max = a/(l/2). (4)

Если щель очень узкая, а«l, то вся поверхность MN является лишь небольшой частью одной зоны и колебания от всех её точек будут по любому направлению распространяться почти в одинаковой фазе. Условие минимума (2) не может быть выполнено даже для самого меньшего значения k = 1 и во всех точках экрана будет свет. Такая щель является практически точечным источником света, и волна от неё будет распространяется практически одинаково во всех направлениях.

Если щель очень широкая, а»l, то уже первый минимум будет соответствовать очень малому отклонению от прямолинейного распространения света под углом

(j₁)_min = arcsinl/a »l/a <<1. (5)

Следующий минимум будет при угле (j₂)_min » 2l/a и т.д. В результате прохождения через такую широкую щель плоской волны на экране мы увидим геометрическое изображение щели, окаймлённое по краям тонкими перемеживающимися темными и светлыми полосками.

Чётко выраженные широкие дифракционные максимумы и минимумы будут наблюдаться лишь в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и z_max порядка 3-5.

При освещении щели монохроматическим светом дифракционные максимумы для различных цветов разойдутся. Как видно из (3), чем меньше l, тем под меньшими углами расположены дифракционные максимумы.

В центр экрана лучи всех цветов приходят совместно - если щель освещалась белым светом, то изображение в центре также будет белым. Справа и слева от центрального максимума будут наблюдаться дифракционные спектры первого, второго и т. д. порядка, обращенные фиолетовым краем к центру, рис.3. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

Рис.3.

ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА, ДИФРАКЦИОННЫЙ СПЕКТР. ДИСПЕРСИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ РЕШЁТКИ.

Для увеличения интенсивности и более четкого разделения цветов следует воспользоваться не одной щелью, а целой дифракционной решеткой, которая представляет собой ряд параллельных щелей одинаковой ширины а, разделённых между собой непрозрачными промежутками шириной b. Сумма

а + b = 1 (1)

называется периодом или постоянной дифракционной решетки.

Конструктивно дифракционная решетка для видимого света изготавливается путем нанесения на прозрачную стеклянную пластинку с помощью алмазного резца делительной машины ряда тонких параллельных штрихов-канавок одинаковой ширины b на равных расстояниях а др. от др. Поверхность стекла внутри канавок становится матовой, и эти канавки являются непрозрачными промежутками, разделяющими участки с ненарушенной поверхностью - "щели"_решётки. Рис.1.

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, падающую на решетку, рис.2. Каждая из параллельных щелей решётки дает на экране Е дифракционную картину, показанную на рис.2 пунктиром. Линза L собирает параллельные лучи, идущие от всех щелей под углом φ

Pис.2.

к главной оптической оси, в одну и ту же точку М фокальной плоскости. При параллельности всех щелей дифракционной решётки и строгой одинаковости их размеров амплитуды колебаний, создаваемых в точке М каждой щелью в отдельности, будут одинаковы. Практически одинаковым будет и распределение вдоль экрана интенсивностей и амплитуд колебаний, приходящих от каждой щели. Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.

На центральной линии экрана (проходящей через главный фокус линзы О) лучи, идущие от всех щелей, сходятся без дополнительной разности хода, т.е. приходят в одинаковой фазе. При этом их амплитуды просто складываются, и в случае N одинаковых щелей амплитуда суммарного колебания будет в N раз, а интенсивность в N² раз больше, чем в случае одной щели.

Лучи, идущие от разных щелей под углом j, отличным от нуля, сходятся в точке М, пройдя различные пути и имея различные фазы колебаний; они будут давать при интерференции более сложную картину. Рассмотрим две соседние щели. Из рис.2 видно, что лучи, идущие от соответственных точек обеих щелей (крайних, центральных, промежуточных), имеют одну и ту же разность хода

D = l sinj (2)

и приходят в т. М со сдвигом фазы y = 2p(l sinj)/l. Такой же точно сдвиг фазы y будет между колебаниями, приходящими от третьей щели и второй, четвертой и третьей, и т.д.

Резкое возрастание амплитуды результирующего колебания будет в тех случаях, когда амплитуды колебаний от всех щелей а_i направлены одинаково, т.е. имеют сдвиг фазы, целый кратный от 2p, рис.3, что соответствует разности хода между соседними щелями D кратной четному числу полуволн:

lsinj_k = 2kl /2 = kl, k = 0, ±1, ±2, ±3, .... (3)

Условие (3) характеризует положение главных максимумов дифракционной решетки. При углах j_k, удовлетворяющих (3), А = NА₁ и интенсивность дифракционной картины возрастает в N² раз по ср. с дифракцией от одной щели.

С увеличением N возрастает четкость дифракционной картины - увеличивается интенсивность и уменьшается ширина главных максимумов. Вследствие интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве, и эта энергия концентрируется во все более узком интервале углов Dj_m.

Подчеркнем, что хотя положение гл. максимумов решетки не зависит от числа щелей, наличие большого числа щелей очень существенно:

А

Рис.3.

1)яркость каждой линии растет как N², 2) ширина каждой линии убывает как 1/N. Тем самым увеличивается точность производимых измерений.

Если на дифракционную решетку будет падать немонохроматический свет, то дифракционные максимумы, для лучей разного цвета пространственно разойдутся. Нулевой макс. (k=0) для всех длин волн будет совпадать при j = 0, но уже максимумы первого порядка (k=1) будут для фиолетовых лучей расположены ближе к центру, чем для красных. Между ними расположатся максимумы промежуточных цветов, и мы будем наблюдать дифракционный спектр первого порядка. Между нулевым и первым порядками расположена практически темная зона очень слабых побочных максимумов. Такая же темная зона расположена между красным концом спектра первого порядка и фиолетовым краем спектра второго порядка, рис.4.

Рис.4.

Благодаря узости дифракционных максимумов решетки различные цвета почти не накладываются др. на др. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т.е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор (рис.5.). Спектр дифракционной решетки получается тем более четким, чем больше щелей N содержит решетка. Максимальное число наблюдаемых дифракционных спектров определяется из условия, чтобы sinj_k <1, т.е.

k_max£ l/l, (4)

Из условия

sinj_k =kl/l (5)

видно, что синусы углов в спектре данного порядка прямо пропорциональны длинам волн, т.е. дифракционные спектры, в отличие от призматических, всегда одинаковы и равномерны. По­мещая дифракционную решетку D на столик гониометра ( рис.5) и освещая ее пучком параллельных лучей через щель коллиматора К, можно, измеряя угол j_k, под которым видны данные лучи в зрительную трубу Т, точно найти их длину волны l.

Дифракционные решетки имеют обычно от 100 до 600 щелей на мм, т.е. период l =10-2 мкм. Лучшие решетки содержат до 1800 щелей на мм, при общей длине до нескольких см., так что общее число щелей достигает 10⁵.

Отражательная решетка изготовляется процарапыванием параллельных штрихов на зеркальной поверхности. Её теория, по существу, не отличается от теории прозрачной решетки.

Для некоторых областей спектра стекло непрозрачно (например, для УФ-лучей). В этом случае нужно пользоваться кварцевой оптикой и отражательными решетками. Без линз можно обойтись, заменяя плоскую отражательную решетку вогнутой.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 ангстрем). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн dl, при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

D = dj/dl, (6)

где dj - угловое расстояние между спектр, линиями, отличающимися на dl (рис.6а). Можно показать, что

D = k/lcosφ, (7)

откуда следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки l. Чем выше порядок спектра k, тем больше дисперсия.

Дифракционная решетка

Линза

f j

dj

dl¢

l¢ Рис.6а.

Линейной дисперсией называют величину

D_лин = dl¢ /dl, (8)

где dl¢ - линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектр. линиями, отличающимися по длине на dl. Линейная дисперсия связана с угловой дисперсией соотношением

D_лин = fD, (9)

где f - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Приняв во внимание (7), запишем

D_лин = fk/lcosφ (10)

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину

R = l/dl (11)

где dl - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального, максимума (рис. 6). Критерий Рэлея.

Разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра k и числу щелей N, т.е.

R_{дифр. реш.} = kN. (12)

Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей силой (до 2×10⁵).