Конспект ТФКЗ

§ 1.

Комплексні числа: означення та властивості. Геометричний зміст

комплексних чисел. Деякі нерівності ………………………………..

4

§ 2.

Тригонометрична форма запису комплексного числа. Аргумент

комплексного числа. Показникова форма запису комплексного

числа. Формула Муавра ………………………………………………

7

§ 3.

Комплексна площина. Топологія комплексної площини. Криві і

області на комплексній площині….……………….…………………

12

§ 2.

Властивості збіжних числових послідовностей. Число ez ……..…..

16

§ 3.

Критерій Коші. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Сфера Рімана.

Розширена комплексна площина ……………….……………………

18

Лекція 3. Функції комплексної змінної

§ 1.

Функція комплексної змінної. Обернена та складена функції. Гео-

метрична інтерпретація ……………………………………………..

21

§ 2.

Границя функції комплексної змінної. Основні теореми про гра-

ницю функції. Границя по множині точок ……….…………………

22

ми про неперервні функції. Рівномірна неперервність …………….

24

§ 4. Основні елементарні функції комплексної змінної …….…………..

28

Лекція 4. Диференційованість функції комплексної змінної. Умови

Коші-Рімана. Аналітичні функції комплексної змінної

§ 1. Диференційованість функції комплексної змінної. Властивості

диференційованих функцій комплексної змінної …………………..

35

§ 2. Необхідні та достатні умови існування похідної. Умови Коші-Рі-

мана…………………………………………………………………….

37

§ 3. Аналітичність функції комплексної змінної. Властивості аналітич-

них функцій …………………………………………………………...

39

§ 4.

Конформні відображення. Геометричний зміст похідної .…………

41

Лекція 5. Інтеграл у комплексній площині

§ 1.

Означення інтеграла від функції комплексної змінної. Теорема

існування. Основні властивості інтеграла …………………………..

47

§ 2.

Теорема Коші ………………………………………………………….

50

§ 3.

Первісна. Властивості первісних …………………………………….

53

§ 4. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє. Принцип мак-

симуму модуля ………………………………………………………..

56

§ 5. Похідні вищих порядків від аналітичної функції. Теореми Море-

ра і Ліувілля. Інтеграли Коші та типу Коші ………………………..

62

§ 6. Інтеграли Коші та типу Коші ………………………………………...

64

Лекція 6. Ряди у комплексній площині

§ 1. Числові ряди. Збіжність. Ознаки збіжності. Абсолютна збіжність...

65

§ 2. Функціональні ряди. Область збіжності. Рівномірна збіжність.

Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів …………...

67

§ 3. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Властивості степеневих рядів …..

74

§ 4. Ряд Тейлора. Теорема єдності ………………………………………..

76

§ 5. Нулі аналітичної функції. Властивість єдиності. Поняття про ана-

літичне продовження …………………………………………………

79

§ 6. Ряд Лорана …………………………………………………………….

85

§ 7. Ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої точки ………………….

90

Лекція 7. Теорія лишків та її застосування

§ 1. Класифікація та дослідження особливих точок однозначної аналі-

тичної функції …………………………………………………………

92

§ 2. Лишок однозначної аналітичної функції. Формули обчислення

лишків ………………………………………………………………….

99

§ 3. Основні теореми теорії лишків ………………………………………

101

Комплексним числом z називають впорядковану

пару дійсних чисел

x, y , для якої визначено поняття рівності, операції додавання та множення.

1. Два комплексних числа z1 x1,y1 і

z2 x2,y2

вважаються рівними

тоді і тільки тоді, коли x1 x2 і y1 y2:

z1 x1, y1 x2, y2 z2.

(1.1)

2. Сумою комплексних чисел z1 x1,y1

і z2 x2,y2 називають комп-

лексне число

y2 ,

z1 z2 x1, y1 x2, y2 x1

x2, y1

(1.2)

3. Добутком комплексних чисел

z1 x1,y1 і

z2

x2,y2

називають

комплексне число

x2 y1 .

z1 z2 x1, y1 x2, y2 x1 x2 y1 y2, x1 y2

(1.3)

З формул (1.2) і (1.3) маємо:

x1,0 x2,0 x1 x2, 0 .

x1,0 x2,0 x1 x2,0 ,

Останні рівності показують, що операції над комплексними числами x,0

збі-

гаються з операціями над дійсними числами. Тому комплексне число x,0

ото-

z x iy.

(1.4)

Комплексні числа 0, y iy називають чисто уявними.

Число 0,0 0 i 0 – комплексний нуль –

є єдиним числом, яке є

x1 iy1

x2 iy2, якщо

x1 x2, y1

y2,

(1.5)

x1 iy1 x2 iy2 x1

x2 i y1

y2 ,

(1.6)

x1 iy1 x2

iy2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 .

(1.7)

Число x називають дійсною частиною, а число

y– уявною частиною

комплексного числа z x iy

і відповідно позначають:

x Rez Re x iy ,

y Imz Im x iy .

Комплексне число

x iy

називають спряженим до комплекс-

z

x iy

ного числа z x iy. З означення випливає, що

,

.

z1 z2

z1

z2

z1 z2

z1

z2

Число

x2 y2

називають модулем комплексного числа z і позначають

z

x iy

x2 y2

.

(1.8)

З цього означення випливає,

що

z

0,

причому

z

0 тоді і тільки тоді, коли

z 0.

2

2

2

2

2

2

Зауважимо, що z z x

y

x

y

z

є дійсним числом.

Зі співвідношення

(1.8) легко отримати рівності:

z z

z

z

;

z

n

zn

, n N;

z

.

(1.9)

2

2

z

1

1

1. Комутативності:

z1 z2 z2 z1,

z1 z2

z2 z1.

2. Асоціативності:

z1 z2 z3 z1 z2 z3 , z1 z2 z3

z1 z2

z3 .

3. Дистрибутивності:

z1 z2 z3 z1 z2

z1 z3.

Оберненою до операції додавання є операція віднімання: для будь-яких

двох комплексних чисел z1 і z2 існує єдине

комплексне

число

z, яке

задовольняє рівняння:

z z2 z1.

(1.10)

Таке число називають різницею чисел

z1 і

z2 і позначають

z1 z2.

Використовуючи (1.5)-(1.7), можна легко показати, що

z z1 z2 x1 x2

i y1

y2 .

(1.11)

комплексне число z, яке є розв’язком рівняння

z z2

z1,

(1.12)

і яке називають часткою комплексних чисел z1 і z2

і позначають:

z z

: z

z1

.

(1.13)

1

2

z2

z z

2

z

2

z

z

2

2

z

z

2

.

(1.14)

z2

1

Оскільки z2 0, то

0 і

z

z1

z

2

z1

z

2

z1

.

(1.15)

2

z2

z2

z

2

z2

Якщо z1 x1 iy1,

z2 x2 iy2, то формулу (1.15) для частки комплексних

чисел можна подати у вигляді:

z

z1

x1 iy1 x2 iy2

x1x2 y1y2

i

x2 y1 x1y2

. (1.16)

z2

x22 y22

x22 y22

x22 y22

1.2. Геометричний зміст комплексного числа

Оскільки комплексне число

z x, y x iy Rez iImz

визначається

парою дійсних чисел x і

y, то природно поставити йому у відповідність точку

M x,y деякої площини, на якій

введено

декартову систему

координат з

початком у точці

z 0

(рис.1.1). Таку

площину

називають

комплексною

площиною і позначають C, вісь абсцис Rez

називають дійсною віссю, а вісь

ординат Imz –

уявною віссю комплексної площини C. Очевидно, що при

Im z y

Im z y

M x,y z

M

O

Rez x

O

Rez x

Рис.1.1

Рис.1.2

Im z

z1

z2

З геометричного змісту

комплексних

чисел випливає, що для них справедливі

нерівності трикутника:

z2

z1 z2

z1 z2

z1

z2

,

(1.17)

z1 z2

z1

z2

,

z1

а також нерівності:

O

Rez

Rez

z

,

Imz

z

,

(1.18)

Рис.1.3

z

Rez

Imz

.

(1.19)

Якщо на комплексній площині положення точки z x iy

задати у поляр-

Im z

z

ній системі координат , ,

де – віддаль

від початку декартової системи координат до

точки z, а – кут між дійсною віссю і век-

y

тором Oz , то очевидно, що

z

x2 y2

.

Кут називають аргументом комплекс-

O

x

Rez

ного числа z z 0 і позначають Argz.

координат x cos ,

y sin , отримаємо тригонометричну форму запису

комплексного числа

z cos isin ,

(2.1)

,

x

y

x2

y2

cos

, sin

.

(2.2)

x2 y2

x2 y2

y

x 0, y 0,

arctg

,

x

y

x 0, y R,

arctg

,

x

argz

y

arctg

2

x 0, y 0,

x

y

x 0, y 0.

arctg

,

x

Модуль комплексного числа z 0 дорівнює

нулю, а аргумент –

невизначений.

Два, відмінні від нуля, комплексні числа z1

і z2 рівні, якщо

z1

z2

і argz1 argz2

2k ,

k Z .

Досить просто можна показати, що

arg

z

2 argz argz.

(2.3)

1 2,

1 2,

(2.4)

n

,

n .

(2.5)

1

1

При діленні комплексних

чисел z1

і z2, де

2

z2

0, з (1.12)

отримуємо, що для z

z1

z2

1

,

2

.

(2.6)

2

1

з (2.1) отримаємо показникову форму запису комплексного числа

z ei .

(2.7)

Тоді

z

e i .

z z

2

2

ei 1 2 ,

1

1

z

ei 1

i

1

1

1

e

,

(2.8)

1

2

z2

2ei 2

2

зручна для обчислення кореня з комплексного числа.

Комплексне число

w n

(2.9)

z

називається коренем n-го степеня з комплексного числа z, якщо

wn z.

(2.10)

Покажемо, що на множині комплексних чисел операція добування кореня

завжди виконується і для будь-якого комплексного числа

z 0 існує n різних

значень n

. Нехай

z

z cos isin , z 0.

k

2 k

, k Z .

(2.11)

n

Отже,

2 k

2 k

w

n z n

i sin

k Z.

cos

,

(2.12)

k

n

n

Поклавши у формулі (2.11) k 0,1,2, ,n 1, отримаємо nрізних значень

k : 0, 1, , n 1.

Якщо у

формулі (2.11)

покласти

k n,n 1, або

k 1, 2, , то отримаємо такі значення для

k , які будуть відрізнятися від

одного зі значень 0, 1, , n 1

на числа,

кратні 2 .

Це означає, що формула

(2.12) дає лише n різних значень n

.

z

Отже, n різних значень n

обчислюють за формулою

z

w n

2 k

2 k

z n cos

i sin

,

k 0,n 1.

(2.13)

k

n

n

кутника, вписаного в коло радіуса n з центром у точці z 0.

Приклади.

1.

Обчислити

z1

, якщо z 2 3i,

z

2

1 2i.

z2

1

2 3i 1 2i

2

z

z

z

2

z

z

2

2 i 6i

2 i 6

8 i

8

1

•

1

1

1

i.•

z2

z2 z2

z2

2

12 22

5

5

5

5

5

• Оскільки

z

3 4i

5, argz arctg

4

, то

9 16

3

iarctg

4

4

4

z 3 4i

5 cos arctg

isin arctg

5e

3

. •

3

3