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Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Розрахункова робота •1 з математичного аналiзу 2015-2016 н.р.

Завдання 1. Виконати дi¨ над комплексними числами.

1. à) 2+41+ii =;

2. à) 2+4i =;

1¡i

3. à) 5¡5i =;

¡2¡i

4. à) 5¡5i =;

1+3i

5. à) 5¡5i =;

¡1+2i

6. à) 4+3i =;

2¡i

7. à) 4+2i =;

¡3+i

8. à) 4+21+ii =;

9. à) 4¡2i =;

3+i

10. à) 4¡2i =;

¡1+i

11. à) 4¡3i =;

2+i

12. à) 3+54+ii =;

13. à) 3+5i =;

¡1¡i

14. à) 3+5i =;

¡1+4i

15. à) 3+i =;

2¡i

16. à) 3+1+ii =;

17. à) 3¡i =;

¡2¡i

18. à) 3¡i =;

¡1+i

19. à) 3¡4i =;

¡2+i

20. à) 3¡5i =;

¡4+i

21. à) 2¡4i =;

¡1¡i

22. à) 1+5i =;

¡3¡2i

23. à) 1+51+ii =;

24. à) 1+3i =;

1¡i

25. à) 1¡3i =;

¡2+i

26. à) 1¡5i =;

¡2¡3i

27. à) 5+53+ii =;

28. à) 5+i =;

¡2¡3i

29. à) 5¡3i =;

4+i

30. à) 3¡5i =;

1¡i

á) ¡4+2i =;

(1+i)2

á) ¡2+4i =;

(¡1+i)2

á) 4+3i =;

(¡2+i)2

á)	8¡6i 2	=;

	(1+3i)
á) ¡10+202i =;
	(1+3i)
á)	¡8¡6i	2	=;

	(¡1+3i)

á) ¡2+2i =;

(1+i)2

á) 2+4i =;

(1+i)2

á) ¡4¡2i2 =;

(¡1+i)

á) 4+3i =;

(1+2i)2

á) ¡4+3i =;

(¡1+2i)2

á) ¡20¡10i =; (1+3i)2

á) ¡2¡22i =;

(1+i)

á) ¡3+4i =;

(1+2i)2

á) 16¡12i =; (¡2+4i)2

á) 10+30i =; (1+3i)2


á) 50+502i				=;
		(3+i)
á)		4+2i	=;
		2	=;
	(1+i)
á)		3¡4i 2			=;
		3¡4i 2			=;
	(1+2i)
á)		¡3¡4i			2	=;
		¡3¡4i			2	=;
	(¡1+2i)
á)		¡4¡3i2			=;
		(1+2i)

á) 3+4i =;

(¡1+2i)2

á) ¡6¡8i2 =;

(1+3i)

á) 8+6i =;

(1+i)2

á) ¡4+2i =;

(¡1+i)2

á) ¡4¡3i2 =;

(1+2i)

á) ¡4¡42i =;

(1+i)

á) ¡2¡4i2 =;

(¡1+i)


á)		4¡3i		2	=;

á)	(¡1+2i)
		¡8+6i2	=.

	(1+3i)

		Завдання 2. Довести, що					lim xn = a. Вказати N(")
						n!1
	xn =	¡43		¢n,		äëÿ " = 0; 1; 0; 01;	0; 001; 0; 0001.
2.	xn =	¡43		¢n,		a = 0;
1.	xn =		2	n,		a = 0;
		¡	3	¢n,
3.	xn =	¡	54	¢n,		a = 0;
4.	xn =	¡	65	¢n,		a = 0;
5.	xn =	¡	76	¢n,		a = 0;
6.	xn =	¡	87	¢n,		a = 0;
7.	xn =	¡	98	¢n,		a = 0;
8.	xn =	¡	10¢		n,	a = 0;
			9		n,
10.	xn =	¡	1211	¢n,		a = 0;
9.	xn =	¡	1110	¢n,		a = 0;
11.	xn =	¡p2¢,				a = 1;
		n
12.	xn = p3,					a = 1;
		n
13.	xn = p4,					a = 1;
		n
14.	xn = p5,					a = 1;
		n
15.	xn = p6,					a = 1;
		n
16.	xn = p7,					a = 1;
		n
17.	xn = p8,					a = 1;
		n
18.	xn = p9,					a = 1;
		n
19.	xn =	p10,				a = 1;
		n
20.	xn =	p11,				a = 1;
		n
		q
21.	xn = n			1		a = 1;
		q		2 ,
22.	xn =	n		1		a = 1;
22.	xn =	q		3 ,		a = 1;
				3 ,

23.	xn =	n		1		a = 1;
23.	xn =	q		4 ,		a = 1;
				4 ,

24.	xn =	n		1		a = 1;
24.	xn =	q		5 ,		a = 1;
				5 ,

25.				1		a = 1;
	xn =	n		1
	xn =	q		6 ,
				6 ,

26.	xn =	n		1		a = 1;
26.	xn =	q		7 ,		a = 1;
				7 ,

27.	xn =	n		1		a = 1;
27.	xn =	q		8 ,		a = 1;
				8 ,

28.	xn =	n		1		a = 1;
28.	xn =	q		9 ,		a = 1;
				9 ,

29.	xn =	n		1		a = 1;
29.	xn =			10 ,		a = 1;
	xn = q			10 ,
30.						a = 1.
30.				11 ,		a = 1.
		n		1

Завдання 3.

Обчислити границi числових послiдовностей:

lim

p3n ¡ 1 ¡ p125n3 + n

n!1

pn ¡ n

;

¡ p

lim

n5 + 3

n ¡ 3

;

+ 3 +

¡ 3

lim

4n2 ¡ pn

5n ;

n!1 pn6 + n3 + 1

lim

+ 5

n ¡ 5

5 ;

n!1 pn7 + 5 + pn

+ 2 + 3n

pn2

n!1

p16n8

n ;

lim

np11n + p

25n4 ¡ 81

n!1

)pn2

n + 1 ;

lim

+ 1

n ¡ 1

;

1 ¡3

n ¡ 1

lim

n + 2

¡ p

n3 + 2

n!1 p

n + 2

pn3 + 2 ;

¡3

+ 1

lim

¡ n

n!1 pn6 +

2 ¡3n ;

10.

lim

n + 1

¡ p

n3 + 1

;

n + 1 ¡

+ 1

11.

lim

p3n4 ¡ 1 ¡

pn2 + 2

n!1

p4n3 + 1 + 2n ;

¡ p

n ¡ 6

12.

lim

n8 + 6

n!1 pn8

+ 6 + p

n 6

;

13.

lim

pn2

2 ¡ 5n

n!1 n

p3n4

n ;

14.

lim

pn + 3 ¡ p8n8 + 3

n!1

pn4

+ 4 + pn5

+ 5 ;

15.

lim

n ¡ pn3

+ 1

3n;

n!1 p5n2 + 2n

p5n +

16.

lim

2 ¡ p8n3 + 5

n!1

;

pn + 7 ¡ n

17.

lim

pn ¡ 9n

n!1

3n3¡ p9n8 + 1 ;

¡ p

18.

lim

n5 + 1

n ;

n!1 p4n6 + 3

19.

lim

p6n6 + 1 ¡

p2n ¡ 1

n!1

pn7

¡ 1 + 2n

;

20.

lim

pn2

¡ p4n2

+ 3

;

n + 1

21.

lim

2p8n6 ¡ 1 ¡ pn8 + 3

n!1

;

22.

lim

p4n + 1 ¡ p27n3

+ 4

+ n

;

pn ¡

23.

+ 1

nlim

(n +

;

n) 7 ¡ n + n

24.

lim

n2 + 1

25.

n!1 p3n3

+ 3 + pn5 + 1 ;

lim

pn2 ¡ pn2 + 5

n!1

pn + 1 ;

pn7

26.

lim

np71n ¡ p

64n6 + 9

;

pn) 11 + n

27.

lim

n + 3

11 + n

;

¡ 4 ¡

81n

¡ 1

28.

lim

32n5 + 1

¡ n

29.

n!1 p27n3 + 2 + n;

lim

pn2

¡ 1 + 7n3

1 ;

n!1 pn12 + n

30.

lim

np9n + 1 +

p81n4 ¡ 1

2 .

(n + pn) 5 ¡ n + n

Завдання 4.

Обчислити границi числових послiдовностей:

´;

n!1

(n + 2) ¡ (n ¡ 3)

lim

´;

lim

+ 3n

n!1

¡ p¡

(

n + 2

n!1

;

n!1 p

¡ p

+ 1)(n2

2pn

n(n4

;

lim

´;

n!1

¡ 8 ¡ n n(n

+ 5)

lim

´;

n!1

n(n + 2)

n ¡ 2n + 3

lim

³2

´;

n!1

(n + 2)(n + 1) ¡

(n ¡ 1)(n + 3)

n!1

³pn(n

¡ 1) ¡ pn

¡ 8´;

lim

n!1

³n

n ¡

´;

n(n + 1)(n + 2)

lim

´;

11.

n!1

n + 3

n ¡ 2

lim

10.

12.

´;

lim

n(n + 1)(n + 2)

n!1

n(n ¡ 2) ¡ n

¡ 3´;

n!1

lim

14.

nlim

;

3n + 2 ¡ n

13.

lim

+ 1)(n

¡ 9´;

n!1

+ 4) ¡

15.

n!1

´;

³3

16.

³2

lim n

5 + n

3 + n

´;

lim n

1 + 64n ¡

n!1

18.

´;

n!1

³p(1 + n)

¡ p(n ¡ 1)

17.

lim

n!1

³p

´;

lim

n(n + 8)

³3n ¡

´;

20.

n!1

9n(n ¡ 1)

19.

lim

pn + 1ppn + 2 pn

lim

¢;

n!1

2¡

21.

22.

lim

p pp

¡ 1

;

nlim

+ 1 ¡

´;

23.

n!1

n(n ¡ 4)

;

lim

n!1

(

24.

lim

n + 1)3

n(n

1)(n

!1 p

;

26.

lim

´;

25.

lim

+ 1)(n

+ 2) ¡

¡ 1)(n

n!1

27.

´;

n!1

n(n +

¡ ´;

n!1

¡p

lim

+ 8

+ 2

28.

lim

(n + 1)(n

¡ 1) ¡

¡ 1

n!1 p

;

¡ 2n´;

n!1

+ 8n

30.

p .

lim

29.

lim

n!1 ³n ¡ pn ¡ 5´n n

Завдання 5.

Обчислити границi числових послiдовностей:

lim

n + 2

µ1 + 2 + 3 +

¢ ¢ ¢

+ n ¡ 3 ¶;

n!1

lim

2n+1 + 3n+1

2n + 3n

;

n!1

lim

1 + 3 + 5 + ¢ ¢ ¢ + (2n + 1)

n!1

1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + n ;

lim

(3n)! + (3n + 1)!

(3n)! ¡ (3n + 1)! ;

n!1

¶;

n!1

¢+¢ ¢1

lim

1 + 3 + 5 + + (2n

2n + 1

1 ¡ 3 + 5 ¡ 7 + 9 ¡ ¢ ¢ ¢ + (4n ¡ 3) ¡ (4n ¡ 1)

lim

n!1

pn3

pn2

+ 1 + pn2 + n + 1

;

lim

+ 5 ¡ p3n4 + 2

n!1 1 + 3 + 5 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) ;

lim

2 ¡ 5 + 4 ¡ 7 + ¢ ¢ ¢ + 2n ¡ (2n + 3)

;

n!1

µ n

n + 3

¶;

n!1

¢+¢ ¢1

lim

1 + 5 + 9 + + (4n

4n + 1

+ 7

10.

lim

7n¡1 ;

n!1

11.

lim

1 +¡2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + n

n!1

p9n4 + 1

;

¡ n¶;

n!1

n ¢+¢ ¢3

12.

lim

1 + 3 + 5 +

+ (2n

3 + 6 + 9 + ¢ ¢ ¢ + 3n

13.

lim

n!1

+ 4

;

14.

lim

1 + 2 + ¢ ¢ ¢ + n

;

n!1

n ¡ n2 + 3

n!1

µ4 +

16 ¢ ¢ ¢

¶;

15.

lim

1 + 2n

¶;

n!1

n + 3¢ ¢ ¢

16.

lim

2 + 4 + 6 +

+ 2n

n2 + p

¡ 1

17.

lim

n!1

2 + 7 + 12 + ¢ ¢ ¢ + (5n ¡ 3) ;

18.

lim

(3n ¡ 1)! ¡ (3n + 1)!

n!1

(3n)!(n

;

19.

lim

3n ¡ 2n

n!1

3n¡1 + 2n ;

20.

lim

1 + 4 +

+ ¢ ¢ ¢ + (3n ¡ 2)

n!1

p5n4 + n + 1

;

1 + 31 +

+ ¢ ¢ ¢ +

21.

lim

;

1 + 5 1 +

+ ¢ ¢ ¢ +

n!1

22.

lim

1 ¡ 2 + 3 ¡ 4 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) ¡ 2n

n!1

µ6 + ¢ ¢ ¢ +

¶;

;

n!1

23.

lim

+ 2n

(2n + 1)! + (2n + 2)!

24.

lim

(2n + 3)! + (2n + 2)! ;

n!1

25.

lim

1 ¡ 2 + 3 ¡ 4 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) ¡ 2n

n!1

;

pn3 + 2n + 2

26.

lim

(2n + 1)! ¡ (2n + 2)!

n!1

(2n + 3)!

;

27.

lim

n! + (n + 2)!

(n ¡ 1)! + (n + 2)! ;

n!1

¶;

n!1

µn2

¢ ¢ ¢

28.

lim

n ¡ 1

29.

lim

(n + 4)! ¡ (n + 2)!

n!1

(n + 3)!

;

30.

lim

2n ¡ 5n+1

n!1

2n+1 + 5n+2 .

Завдання 6.

Обчислити границi числових послiдовностей:

lim

3n2 ¡ 6n + 7

¡n+1

;

¶2

n!1

3n2 + 20n ¡ 1

n!1

5n2

+ 3n + 3

n ;

lim

5n2

+ 3n ¡ 1

n!1

µn + 5

;

n+1

lim

n + 3

n+4

3n2 ¡ 5n

lim

;

n!1

3n2 ¡ 5n2+ 7

n!1

µn + 1

lim

n ¡ 1

n ;

n!1

µn3

¡ 1

2n¡n

;

lim

+ 1

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

n!1

µ4n ¡ 1

2n¡1

2n+5

lim

4n + 3

;

lim

3n2 + 4n ¡ 1

¶n

;

n!1

3n2 + 2n + 7

; 2

n!1

2n2

+ 5n + 3

lim

2n2

+ 5n + 7

µ2n2

+ 3n ¡ 1

¡n ;

n!1

lim

2n2

+ 7n ¡ 1

13n + 3

n¡3

lim

;

13n

n!1

2n + 1

n+1

lim

2n ¡ 1

;

n!1

µn2

+ n

;

lim

+ n + 1

¡n

3n + 1

¶n

n!1

lim

3n ¡ 1

¡n+4

;

lim

n + 5

µn + 7

¶n

;

n!1

;

n!1

µn + 2

lim

n + 4

10n ¡

;

n!1

lim

10n

µ n + 1

n!1

3n+1

lim

n ¡ 10

;

n!1

5n + 1

lim

5n ¡ 3

n¡4

;

n!1

µn + 1

;

lim

n + 3

¡n

2n2 + 21n ¡ 7

2n+1

lim

;

n!1

2n2 + 18n + 9 ¶

n!1

2n + 1

lim

2n + 3

n+1

;

n¡2

;

n!1

lim

µ n

+ 11n

lim

7n2

+ 18n ¡ 15

n+2

;

+ 15

2n2

+ 1

n!1

lim

2n2

+ 2

;

n ;

n!1

n3 + 2

lim

+ n + 1

µn2

+ 5n + 1 ¶

n!1

lim

¡ 3n + 6

;

28.	lim		n2	6n + 5					3n+2
28.	lim	µn2 ¡		5n + 5 ¶					;
	n!1	µn2 ¡		5n + 5 ¶					;
		µ	¡			¶	3n+2
29.	lim		6n ¡ 7					;
	n!1		6n + 4
	n!1	µn ¡ 1			¶
			n + 1			n
30.	lim						:

Завдання 7.

Обчислити границi функцiй:

lim

(x3

¡ 2x ¡ 1)(x + 1)

;

x!¡1

x4 + 4x2

¡2

lim

+ 3x + 2)

;

x!¡1 x3 + 2x2

lim

+ x

¡ 10x + 8

;

x!¡4 x3 + 9x2 + 26x + 24

lim

¡ 3x ¡ 2

;

x!¡1

¡ x ¡ 2

lim

¡ 3x + 2

;

x!1 x3

¡2

x + 1

lim

+ 4x

+ 5x + 2

;

3¡

+ 3x2

x!¡1

lim

+ 5x

+ 8x + 4

;

x3 + 3x2

x!¡2

¡2

lim

¡ 2x ¡ 1)

;

x4 + 2x + 1

x!¡1

lim

(2x2 ¡ x ¡ 1)2

;

x!1 x3 + x2

10.

lim

x ¡ 3x ¡ 2

;

x!¡1

x + x2

11.

lim

x2 ¡ 2x + 1

;

x!1

2x2

+ 7x + 3

12.

lim

+ 5x

;

x!¡1 x3 + 4x2 + 5x + 2

13.

lim

x3 + 3x2 ¡ 6x ¡ 8

;

x!¡4 x3 + 6x2 + 5x

14.

lim

x4 ¡ 1

;

x!1

2x4

2 ¡

15.

lim

¡ 5x + 8x ¡ 4

;

x!2

3x2 + 4

16.

lim

¡ 6x + 12x ¡ 8

;

x!2

3x2 + 4

17.

lim

x ¡ 3x ¡ 2

;

(x2 ¡4 x ¡ 2)2

x!¡1

18.

lim

¡ 1

;

2x4

2¡ x2 ¡ 1

x!¡1

19.

lim

¡ x ¡ 1

;

x!1 x3 + 2x2 ¡ x ¡ 2

20.

lim

¡2x ¡ 1 + x3

;

x!¡1

x4 + 2x + 1

21.

lim

x2 ¡ 1

;

x!1

2x2

2¡

22.

lim

¡ 4x

¡ 3x + 18

;

x!3

5x2

+ 3x + 9

+ 8x + 4

23.

lim

+ 5x

;

x!¡2 x3 + 7x2 + 16x + 12

24.

lim

x3 ¡ 3x ¡ 2

;

x!2

25.

lim

¡ 2x + 1

;

x!1 x3

x + 1

26.

lim

x + 3x + 2

;

x!¡1 x3 + 2x2

27.

lim

+ 2x ¡ 3

;

x!¡3 x3 + 4x2 + 3x

28.

lim

x3 + 5x2 + 3x ¡ 9

;

x!¡3 x

3+ 4x

2¡ 3x ¡ 18

29.

lim

+ 7x + 15x + 9

;

x!¡3 x3 + 8x2 + 21x + 18

30.

lim

x3 ¡ 7x2 + 15x ¡ 9

x!4 x3 ¡ 7x2 + 8x + 16

Завдання 8. Обчислити границi функцiй:

¡ 1

lim

x!1

1 ;

lim

1 ¡ 2x + x

¡ (1 + x)

;

x!0

¡ p

lim

;

x ¡ 1

lim

x + 13 ¡ 2

x + 1

;

x2 ¡ 9

x!3

lim

1 + 2x

¡ 3

;

x!4

px ¡

lim

p27 + x ¡ p27 ¡ x

;

+ px

¡ p

;

lim

1 + x

1 ¡ x

x!0 p

p7 x

lim

1 ¡ 2x + 3x

¡ (1 + x)

;

x!0

p3 x

lim

1 + x

¡ 1

;

x!0

¡ p3

10.

lim

27 + x

27 ¡ x

;

x + 2p3 x4

x!0

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