Тема 8.3

Автомодельну область називають також областю квадратичного закону опору, так як згідно рівняння

при відсутності впливу Re на опір тертя стає пропорційним квадрату швидкості.

Критичні значення Re_кр,1при яких шорсткість починає впливати на величину коефіцієнта тертя, а також критчне значення Re_кр,2, при якихстає функцією тільки шорстості залежить від відносної шорсткості, яка рівна ;

Орієнтаційно Re_кр,1визначають по залежності

Re _кр.1=23/

Re _кр.2. = 220^-9/8;

Всі приведені вище рівняння дійсні при ізотермічному режимі.

Якщо середня температура стінки значно відрізняється від температури потоку, то всі рівняння , крім рівняння для автомодельної області, потребують введення поправок, які є в спеціальній літературі.

Розрахунок втрат напору на переборювання місцевих опорів.

Втрати напору в місцевих опорах.

h _м.о.=

 – коефіцієнт місцевих втрат;

 – густина, кг/м³;

w – швидкість руху рідини, м/с.

Подібними називаються явища, для яких постійні відношення відповідних величин, що їх характеризують – геометрична подібність.

К – константа подібності.

Фізична подібність.

При подібності фізичних процесів повинні бути подібні всі основні фізичні величини, що впливають на процес.

Кінетична подібність.

При подібному русі відповідних частин їх траєкторії в натурі і моделі повинні бути подібні.

Часова подібність.

Зміна руху відповідних частин в подібних системах за певні проміжки часу повинна бути подібна в моделі і натурі.

Подібність фізичних величин.

Відношення зміни величин, які входять в константи подібності можна замінити самими величинами

Комплекси величин, які отримані шляхом перетворення диференціальних рівнянь називають критеріями подібності.

І. Перша теорема подібності (Ньютона)

Подібні явища характеризуються часово рівними критеріями подібності.

Із першої теореми подібності випливає, що вимірювати потрібно ті величини, які входять в критерії подібності.

Друга терема подібності (Бекінгема).

Рішення любого диференціального рівняння може бути представлено у вигляді залежності між безрозмірними компонентами, тобто між критеріями подібності.

Третя теорема подібності (Кірпігов, Гухман).

Подібними є ті явища, які описуються однією і тою ж системою рівнянь, і у яких є подібні умови однозначності, або явища подібні, якщо їх визначаючі критерії численно рівні.

Основні принципи аналізу розмірностей.

Як було відмічено раніше, багато процесів хімічної технології залежать від такого великого числа різних факторів, що для них не вдається отримати повного математичного опису, можна лише в самому загальному вигляді представити залежність між різними перемінними, що впливають на процес.

(,,,,) = 0

= f(,,,) = 0

Для розрахунку конкретного рівняння може бути застосовано метод розмірностей.

В основу методу розмірностей покладена П–теорема Бекінгема, згідно якої загальну функціональну залежність, що зв’язує між собою “n” змінних величин при “m” основних одиницях їх вимірювання можна представити у вигляді залежності між (n–m) безрозмірними комплесами цих величин, а при наявності подібності у вигляді зв’язку між (n–m) критеріями подібності.

Наприклад, якщо маємо 5 величин і три розмірності.

(n–m)=2 і вказана функціональна залежність може бути представлена у вигляді функції між деякими двома безрозмірними комплексами

(Ï₁, Ï₂) = 0

Ï₁= f(Ï₂)

Нехай маємо три величини вимірювання L, м; T, сек; М, кг

=x^y^z^u^v

x,y,z,u,невідомі числові коефіцієнти.

Нехай

= [L^a1T^b1M^c1]

= [L^a2T^b2M^c2]

= [L^a3T^b3M^c3]

= [L^a4T^b4M^c4]

= [L^a5T^b5M^c5]

Враховуючи, що розмірності обох частин рівняння повинні бути однакові.

a x – безрозмірний коефіцієнт, то

[]=[]^y, []^z, []^u, []^v

або при підстановці конкретного виразу маємо

L^a1T^b1M^c1= (L^a2T^b2M^c2)^y(L^a3T^b3M^c3)^z

(L^a4T^b4M^c4)^u(L^a5T^b5M^c5)^v

Розкривши дужки і згрупувавши подібні члени рівняння отримаємо

L^a1T^b1M^c1 = L^a₂^y+a₃^z+a₄^u+a₅^v

T^b₂^y+b₃^z+b₄^u+b₅^v M^{c2y+c3z+c4u+c5v}

Показники степені при однакових основних одиницях в обох частинах рівняння повинні бути рівні.

a₁=a₂y+a₃z+a₄u+a₅v

b₁= b₂y+b₃z+b₄u+b₅v

c₁= c₂y+c₃z+c₄u+c₅v

Маємо три рівняння і чотири невідомі y, z, u, v. Любі три із них можна виразити через четверту. Наприклад, z,u,vвиразимо черезy.