Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ

МЕТОДИ І МОДЕЛІ

Частина 2 (оптимізаційні методи і моделі)

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторних робіт

для студентів базових напрямів 6.030503 «Міжнародна економіка», 6.030504 «Економіка підприємств», 6.030507 «Маркетинг», 6.030508 «Фінанси і кредит», 6.030509 «Облік і аудит»

стаціонарної форми навчання

Затверджено

на засіданні кафедри

маркетингу і логістики

Протокол № 5 від 13.12.2012 р.

Львів – 2013

Економіко-математичні методи і моделі. Частина 2 («Оптимізаційні методи і моделі»): Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт для студентів базових напрямів 6.030503 «Міжнародна економіка», 6.030504 «Економіка підприємств», 6.030507 «Маркетинг», 6.030508 «Фінанси і кредит», 6.030509 «Облік і аудит» / Укл.: Мних О.Б., Гірна О.Б., Кузьо Н.Є., Леонова С.В., Рикованова І.С. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2013. – 29 с.

Укладачі: Мних О.Б., д.е.н., проф.

Гірна О.Б., к.е.н., доц.

Кузьо Н.Є., ст. викл.

Леонова С.В., ас.

Рикованова І.С., ас.

Відповідальний за випуск: Гринів Н.Т., к.е.н., доц.

Рецензенти: Косар Н.С., к.е.н., доц.

Люльчак З.С., к.е.н., доц.

Лабораторна робота №1 прийняття рішень в умовах повної невизначеності і. Загальні положення

Прийняття рішення (стратегії) серед кількох варіантів в умовах визначеності характеризується однозначною, детермінованою залежністю прийнятого рішення від ряду властивостей стратегії (від вектора властивостей, ознак або якостей), які враховуються для кожного варіанту можливого рішення. Складнішим є формування критеріїв в умовах невизначеності. Одним із визначальних факторів у таких задачах є зовнішнє середовище, або природа.

Іі. Теоретичні відомості

У загальному випадку природа (зовнішнє середовище) може знаходитися в одному зі станів П₁, П₂, ...., П_n. Ймовірність знаходження у цих станах є невідомою для особи, що приймає рішення. В іграх з природою, як і в стратегічних іграх, створення моделі повинно починатися з побудови платіжної матриці.

Нехай гравець А має m можливих стратегій (А₁, А₂, …, А_m), а природа П може знаходитися в одному з станів n (П₁, П₂, ..., П_n), які можна розглядати як її «стратегії». Сукупність (П₁, П₂, ..., П_n) формується або на основі досвіду аналізу станів природи, або в результаті передбачень та інтуїції експертів, тобто використання експертних оцінок. Виграш гравця А за умов вибраної ним стра­тегії A_і ( і = 1, …, m) та станів П_j(j = 1 ,..., n) природи П позначимо а_ij(і = 1, …, m; j = 1 ,..., n). З виграшів гравця А формують платіжну матрицю А (табл. 3.1), яка відрізняється від матриці стратегічної (антагоністич­ної) гри тим, що елементи стовпчиків не є програшами природи при відповідних її станах.

Таблиця 1.1

Платіжна матриця А

Пj Ai	П1	П2	…	Пn
А1	a11	a12	…	a1n
А2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Аm	am1	am2	…	amn

Методи прийняття рішень в іграх з природою залежать від того, відомі чи ні ймовірності станів природи, тобто має місце ситуація повної невизначеності.

Для прийняття рішень в умовах повної невизначеності викорис­товуються наступні критерії:

• критерій Лапласа;

• критерій Вальда;

• критерій Севіджа;

• критерій Гурвіца.

1. Критерій Лапласа.

Критерій Лапласа спирається на принцип недостатнього під­ґрунтя, виходячи з якого всі стани природи П_j є рівноймовірними. Відповідно до цього принципу кожному стану П_j відповідає ймо­вірність р_j, яка визначається за формулою:

.(1.1)

Для прийняття рішень для кожної стратегії A_і розраховується середнє арифметичне значення виграшу:

.(1.2)

Серед обирають максимальне значення, яке буде визначати виграш при застосуванні оптимальної стратегії A_опт:

.(1.3)

2. Критерій Вальда.

Критерій Вальда –це критерій гарантованого результату. Він базується на принципі найбільшої обережності, оскільки вибира­ють найкращу із найгірших стратегій А_і.

Якщо елементи платіжної матриці а_ijхарактеризують виграш (корисність), то для визначення оптимальної стратегії вико­ристовується максимінний критерій.

Для цього у кожному рядку матриці виграшів знаходять наймен­ший елемент , а потім обирається стратегія А_і (рядок і), якій відповідає найбільше значення із цих найменших елементів, тобто стратегія А_опт, яка визначає результат:

(1.4)

3. Критерій Севіджа (мінімізація "жалю").

Вважається, що ризик припустимий. Вкладається стільки грошей, скільки не шкода. "Жаль" – це втрачений прибуток результату при даній стратегії по відношенню до найкращої стратегії. Вихідна матриця перетворюється в матрицю ризиків R таким чином, що її елементи (в межах одного стовпчика) (r_ij) дорівнюють різниці між максимальним значенням елементів стовпчика та відповідним елементом комірок вихідної матриці. Матриця R є матрицею "жалів".

Таблиця 1.2

Матриця ризиків R

Пj Ai	П1	П2	…	Пn
А1	r11	r12	…	r1n
А2	r21	r22	…	r2n
…	…	…	…	…
Аm	rm1	rm2	…	rmn

До матриці ризиків застосовується мінімальний критерій:

. (1.5)

4. Критерій Гурвіца.

Критерій Гурвіца (критерій узагальненого максиміну) охоплює різні підходи до прийняття рішень: від найбільш оптимістичного до найбільш песимістичного (консервативного). Базується на таких двох припущеннях: "природа" може знаходитись у найгіршому стані з ймовірністю (1–) і у найкращому стані із ймовірністю, де–коефіцієнт довіри (показник оптимізму).

Якщо платіжна матриця є матрицею виграшів (прибутку, корисностей), то критерій Гурвіца формулюється таким чином:

(1.6)

Якщо =0, критерій Гурвіца стає консервативним, оскільки його застосування є рівносильним застосуванню критерію Вальда.

Якщо =1, критерій Гурвіца стає занадто оптимістичним, оскільки його застосування є рівносильним застосуванню критерію оптимізму (критерію максимаксу).

Критерій Гурвіца встановлює баланс між випадками крайнього песимізму й крайнього оптимізму шляхом надання їм відповідної ваги (1–) та, де 01. Значенняможе визначатись у залежності від схильності до песимізму або оптимізму. Якщо відсутня яскраво виражена прихильність, то вважають=0,5.