Зауважимо, що реакція упору виникає у випадку нерівномірного руху хоча би одного з елементів механічної системи.

Приклад 2. Призма 3 масою = 10 кг з закріпленим на ньому блоком масою = 2 кг, може ковзати вздовж горизонтальної поверхні без тертя. Тіло 1 (маса = 15 кг, = 10 см, = 5 см), може котитися по поверхні призми без ковзання, а тіло 2 масою = 3 кг може ковзати по другій поверхні, бо з’єднані нерозтяжними та невагомими мотузками, яки накинуті на шківи блоку ( = 30 см, = 20 см). Поверхні призми утворюють кути = 30° та = 60° з горизонтом. В момент часу t = 0 перше тіло починає котитися без ковзання по поверхні, при цьому його центр рухається за законом (м) відносно призми.

1. Знайти закон переміщення призми 3 вздовж горизонтальної площини як функцію переміщення першого тіла відносно призми – .

2. Визначити величину реакцію упора , який забезпечить нерухомість призми.

Розв’язання. Скористаємося теоремою про рух центра маси. Дія зовнішніх сил на механічну систему зводиться до сил тяжіння та реакції опори гладкої горизонтальної площини. Тому вибираємо систему координат так, щоб вісь була спрямована перпендикулярно лінії дії зовнішніх сил (рис. 3). За умовою, що в початковий момент швидкість центру маси дорівнює нулю, отримуємо

= 0, (1)

де – абсолютні зміщення тіл, які входять до системи, вздовж осі .

Для визначення абсолютних зміщень тіл будемо вважати, що за рахунок руху тіл 1 та 2 на момент часу > 0 призма змістилась праворуч від початкового положення на відстань , а тіла 1 і 2 ліворуч вздовж похилих площин на відстані та відповідно (рис.3). Тоді абсолютні зміщення тіл, що ходять до системи можна записати як:

, (2)

, (3)

= . (4)

Підставляючи отримані (2), (3), (4) в рівняння (1), отримуємо

= 0, (5)

звідки знайдемо зв’язок між переміщеннями тіл

. (6)

Щоб знайти функцію встановимо зв’язок між переміщеннями тіл 1 та 2. Тіло 1 здійснює плоский рух і його миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці дотику зовнішньої поверхні циліндра до призми. Тому для швидкості центру тіла 1 відносно призми маємо

, (7)

де - кутова швидкість першого тіла. Тоді швидкість точки (точки дотику мотузки до внутрішнього радіуса тіла 1) визначиться як

. (8)

Виключаючи з рівнянь (7) та (8) отримуємо

. (9)

Блок 4 здійснює обертальний рух і тому для швидкостей його точок та отримуємо:

, ,

звідки знаходимо

.

Оскільки та , то знаходимо зв’язок між швидкостями тіл 1 та 2 відносно призми

, (10)

що, з врахуванням вихідних даних дає

.

Інтегруючи отримане співвідношення при нульових початкових умовах, отримуємо зв’язок між відносними переміщеннями тіл

= 0,75. (11)

Тоді рівняння (6) приймає вигляд

, (12)

Звідки, з врахуванням даних задачі, отримаємо зміщення призми як функцію відносного зміщення першого тіла

= 0,47. (13)

Для знаходження реакції опори виходимо з проекції на вісь рівняння руху центру маси

. (14)

Оскільки тепер призма нерухома, то = 0 і тому з врахуванням рівнянь (2) – (4) маємо:

,

, (15)

= 0,

отже

. (16)

З врахуванням рівняння зв’язку (11) між переміщеннями тіл 1 та 2 отримуємо вираз для реакції упорів

. (17)

Підставляємо дані та отримуємо

= – 14,1. (18)

Зауважимо, що реакція виникає за умови нерівномірного руху тіла 1 і пропорціональна величині його прискорення.

Відповідь: = 0,47, = – 14,1.