Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Величина, яка характеризує рух тіла, називається кінетичною енергією. Ця скалярна величина завжди додатна, залежіть тільки від стану механічної системи, і може бути знайдена за наступними правилами.

1. Якщо тверде тіло здійснює поступальний рух, то швидкості всіх його точок однакові і його кінетична енергіявизначається як половина добутку маси тілана квадрат швидкості

=. (1)

2. Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі (наприклад, ) з кутовою швидкістю, то його кінетична енергіядорівнює половинідобутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості

. (2)

3. Якщо тверде тіло здійснює плоский рух, то такий рух можна розглядати як суперпозицію двох простих рухів – поступального руху центра мас зі швидкістю та обертального руху з кутовою швидкістюнавколо осі, що проходить через центр мас перпендикулярно площині руху. Тоді його кінетична енергіявизначається як

+. (3)

4. Якщо механічна система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять в систему, тобто

. (4)

Нагадаємо, що розмірністю кінетичної енергії в системі SI є 1 Дж = 1 Н·м.

Робота є фізична величина яка характеризує міру передачі руху від одного тіла до іншого. Ця фізична величина теж має розмірність джоуль, але її величина залежить від процесу передачі руху, і може бути як додатною, так і від’ємною. Елементарна робота силипри елементарному переміщенні матеріальної точки навизначається за правилами скалярного добутку як

=·=, (5)

де – кут між векторамита. Отже, ця величина

– додатна, якщо кут між напрямом сили та переміщенням гострий;

– дорівнює нулю, якщо цей кут прямий;

– від’ємна, якщо цей кут тупий.

Робота сили при переміщенніматеріальної точки від точки до точки визначається інтегралом

=. (6)

Розглянемо роботу конкретних сил, які можуть діяти в механічній системі.

1. Робота сил однорідного поля тяжіння виконується силами тяжіння при переміщенні тіла (матеріальної точки) масою з початкового в кінцеве положення. Ця робота не залежить від форми траєкторії, і визначається лише різницею кінцевого та початкового положень тіла вздовж вертикалі. Наприклад, при переміщенні тіла з положення 1 в положення 2 (догори) по довільній траєкторії (рис. 4.1), робота сил тяжіння визначається як

, (6)

і буде від’ємною оскільки >. В таких випадках говорять про виконання роботи проти сил тяжіння. Навпаки, при переміщенні тіла з положення 2 в положення 1 (вниз) робота сил тяжіння буде додатною

> 0,

і говорять про те, що така робота виконана силами тяжіння.

2. Робота сили пружності при розтягуванні (стискуванні) пружини жорсткістю від положеннядо положеннявизначається як

, (7)

де – довжина недеформованої пружини, і також не залежить від траєкторії точки, а залежить лише від її кінцевих положень.

3. Робота сил при повороті тіла на кінцевий кут при обертанні навколо нерухомої осі (наприклад, ) визначається рівнянням

, (8)

де – момент зовнішньої сили відносно нерухомої осі, а– кут, на який повернулося тіло.

4. Робота сил тертя ковзання. Оскільки сила тертя завжди направлена в бік, протилежний відносній швидкості (проти переміщення), то робота сила тертя визначиться взятому зі знаком мінус добутку модуля сили тертя =(– коефіцієнт тертя ковзання,– реакція опори) на довжину траєкторії

. (9)

5. Робота сил тертя кочення. Якщо тіло котиться без ковзання по поверхні іншого нерухомого тіла, сила тертя кочення створює момент =і для роботи сили тертя кочення отримуємо

, (10)

де – – коефіцієнт тертя кочення,– кут, на який повернулося тіло.

Зауважимо, що на відміну від кінетичної енергії системи, яка є функцією стану системи, робота є функцією процесу, які мають місце в системі і між цими величинами існує певний зв’язок.

Якщо в процесі руху механічна система перейшла з одного стану, який вона мала в момент часу = 0, в інший, що відповідає моменту часу , то можна отримати зв’язок між зміною кінетичної енергії та роботою сил, які прикладені до системи

, (11)

де та – кінетична енергія механічної системи в кінцевому та початковому станах, а– повна робота, яку здійснюють при цьому переміщенні всі прикладені до системи внутрішні () та зовнішні () сили.

Рівняння (4.11) є записом теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії механічної системи за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт внутрішніх та зовнішніх сил, які діють на елементи системи протягом даного проміжку часу.

Відмітимо, що у випадку, коли матеріальна система складається з абсолютно твердих тіл (тобто коли можна нехтувати деформаціями в цій системі), то під дією внутрішніх сил не відбувається зміщень частинок системи, тому сума робіт всіх внутрішніх сил абсолютно твердого тіла при любому його переміщенні дорівнює нулю і теорема про зміну кінетичної енергії набуває вигляду

. (12)