Методика розв’язування задач
Розглянемо два типи задач, коли на тілі, що обертається, розташовані тіла, які вважаємо матеріальними точками:
а) розташування тіл у механічній системі не змінюється при дії на неї моменту зовнішніх сил:
1. Суміщаємо вісь з віссю обертання твердого тіла (платформи).
2. Знаходимо проекції моменту імпульсу механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи
, (1)
де – момент інерції платформи відносно осі,–початкова кутова швидкість,та– маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі().
2. Обчислюємо зміну моменту імпульсу за рахунок моменту зовнішніх сил протягом заданого часу
. (2)
3. На підставі теореми про зміну моменту імпульсу записуємо рівняння
, (3)
з якого знаходимо кінцеву кутову швидкість системи.
б) на систему не діє момент зовнішніх тіл, але в системі відбувається рух тіл, які входять у систему:
1. Суміщаємо вісь з віссю обертання твердого тіла (платформи).
2) Знаходимо проекцію моменту імпульсу механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи
, (4)
де – момент інерції платформи відносно осі,– початкова кутова швидкість,та– маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі().
3. Знаходимо момент імпульсу механічної системи для моменту часу , коли точки системи рухаються відносно платформи. В цьому випадку абсолютну швидкість кожної точки системи знаходимо за формулою складання швидкостей складного руху
. (5)
Тому для моменту імпульсу рухомої матеріальної точки записуємо
+.
Вважаючи, що напрям обертання не змінюється, для кінцевого значення компонента моменту імпульсу механічної системи отримуємо
, (6)
де – віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор переносної швидкості;– віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор відносної швидкості. Оскільки для переносної швидкості точки, де– відстань точки від осі обертання для моменту часу, тоді з рівняння (6) отримуємо
. (7)
4. Прирівнюючи вирази (4) та (7) отримаємо рівняння
,
звідки знаходимо кінцеву кутову швидкість обертання .
Приклад 1. Однорідний диск маса якого = 400 кг і радіус= 5 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з початковою кутовою швидкістю= 4 рад/с (рис. 3.3). На відстанім від осі обертання в стані спокою знаходиться механізм масою= 150 кг. В момент часу= 0 починає діяти момент зовнішніх сил. Визначити кутову швидкістьобертання тіла в момент часус.
Далі тіло обертається за інерцією з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу самохідний механізм переміщується в нове положення на відстань= 2 м від центру диску та зупиняється. Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на цей момент, нехтуючи тертям у підшипниках.
Розв’язання. Розглянемо рух механічної системи, сумістивши вісь системи відліку з віссю обертання диску. Скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу механічної системи
,
де –- компонент моменту імпульсу системи, який складається з диска та механізму;- головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі.
Сили, які діють на систему - це сили тяжіння та, реакції підп’ятниката підшипникаі пара сил з моментом. Сили тяжіння спрямовані паралельно осі обертання і, відповідно, їхні моменти відносно цієї осі дорівнюють нулю. Не створюють моменту і сили реакції, бо вони перетинають вісь. Отже, головний момент зовнішніх сил дорівнює моменту.
Момент імпульсу системи є сумою моментів імпульсів її елементів. Момент імпульсу диску, який має момент інерції відносно осіта обертається навколо неї з кутовою швидкістювизначається за формулою
,
в який - момент інерції диску відносно осі обертання.
Для матеріальної точки, згідно з визначенням (3.1) запишемо проекцію її моменту імпульсу на вісь як
,
де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки, а- абсолютна швидкість точки. Якщо точка не рухається відносно диску, то абсолютна швидкістьточки, дорівнює її переносній швидкості, яка визначається за формулою Ейлера
,
отже
.
Таким чином проекція моменту імпульсу системи на вісь може бути записана у вигляді
,
а рівняння зміни моменту імпульсу під дією зовнішнього моменту сил приймає вигляд
.
Розділимо змінні та зінтегруємо праву та ліву частини рівняння
,
та отримуємо
.
Підставляючи чисельні значення, знаходимо
(рад/c).
Після того, як перестав діяти момент зовнішніх сил , диск обертається у відсутності сил тертя за інерцією. Така ситуація дає можливість скористатись теоремою про збереження моменту імпульсу відносно цієї осі
,
де та- відповідно- компоненти початкового і кінцевого моменту імпульсу системи. Прирівнюючи отримані вирази для моменту імпульсу системи у початковий та кінцевий моменти часу маємо
=,
що дозволяє отримати вираз для розрахунку кінцевої кутової швидкості обертання диску
.
Підставляючи чисельні значення, знаходимо
(рад/c).
Відповідь: = 4,6 рад/с.
Приклад 2. Однорідний диск маса якого = 300 кг і радіус= 8 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з кутовою швидкістю= 5 рад/с. На відстані= 7 м від центру диску в стані спокою знаходиться механізм масою= 100 кг. В момент часу= 0 механізм починає рухатись вздовж кола незмінного радіусаза закономв напрямі обертання диску (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску як функцію часута її значення на момент часу= 2 с.
Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання диску та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диската механізму, реакції підп’ятниката підшипника(рис. 4). Ці сили не створюють моментів відносно осі, тому скористуємось теоремою про збереження компоненти моменту імпульсу відносно цієї осі
,
де тапочатковий і кінцевий моменти імпульсу системи відповідно. Вираз для початкового моменту знайдено у попередньому прикладі
.
Коли механізм почне рухатися, абсолютна швидкість точки складається зі швидкості відносного тапереносного рухів, яку має будь-яка точка диску завдяки обертанню диска, тому для моменту імпульсу точки маємо
,
де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки. Швидкість переносного руху точки у довільний момент часу
,
модуль відносної швидкості визначимо як першу похідну відносного переміщення точки за часом
,
і спрямована вона по дотичній до траєкторії відносного руху.
Беручи до уваги напрям руху точки та, вважаючи, що напрям обертання диску не змінився, для абсолютної швидкості точки отримаємо
.
Записуємо кінцевого значення - компонента моменту імпульсу точки
,
і остаточно для кінцевого значення - компонента моменту імпульсу системи знайдемо
,
де - кінцева кутова швидкість обертання диску.
Тоді з умови збереження - компоненти моменту імпульсу механічної системи отримуємо вираз для знаходження кінцевої кутової швидкості диску
.
Підставимо дані задачі та обчислимо значення для кінцевої кутової швидкості диску на момент часу = 2 с
= 4,03 (рад/с).
Відповідь: = 4,03 рад/с.
Приклад 3.Квадратна однорідна платформа маса якої = 300 кг і розмір= 3 м обертається навколо фіксованої осі, що проходить через центр платформи перпендикулярно до її площини з кутовою швидкістю=5 рад/с (рис. 3.5). Механізм масою =50 кг знаходиться в точці в стані спокою. В момент часу= 0 починає діяти момент зовнішніх сил(Н.м) і діє протягом часу . Визначити кутову швидкістьобертання тіла та її значення при=4 с.
Після цього в новий момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж прямоїза законом(відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість платформи на момент часу= 1 с.
Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання платформи та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диската механізму, реакції підп’ятниката підшипниката пара сил з моментом(рис.6). Головний момент зовнішніх сил визначається тільки моментом, оскільки усі вказані сили не створюють моментів відносно осі.
Запишемо теорему про зміну моменту імпульсу механічної системи.
. (1)
де та- початковий і кінцевий моменти імпульсу системи відповідно.
Знайдемо вираз для моменту імпульсу механічної системи у довільний момент часу. Він складається з моментів імпульсів платформи та нерухомого відносно платформи механізму, отже отримуємо
, (2)
де - момент інерції платформи відносно заданої осі обертання.
Оскільки в початковий момент механізм нерухомий, то його абсолютна швидкість дорівнює переносній
,
тому отримуємо
. (3)
Підставляючи дані задачі послідовно знаходимо
= 300∙(32 + 32)/3 = 1800 (кг∙м2),
= 50∙2∙32∙= 900∙(кг∙м2/c),
.
Після цього обчислюємо інтеграл.
(кг∙м2/c).
Підставляючи отримані результати у формулу (1), отримуємо
,
звідки знаходимо значення кутової швидкості у заданий момент часу з врахуванням умов задачі
(рад/с).
Після цього моменту, згідно з умовами задачі, дія моменту зовнішніх сил припиняється і далі обертання платформи здійснюється у відсутності сил тертя. Це дає можливість скористатися теоремою про збереження моменту імпульсу відносно осі
, (4)
де –компонент моменту імпульсу у довільний момент часу.
Вираз для згідно (3) має вигляд
=. (5)
Коли механізм рухається, його абсолютна швидкість дорівнює , тому вираз длякомпоненти моменту імпульсу системи у довільний момент часу прийме вигляд
(6)
де – кутова швидкість обертання платформи,та- віддалі від точкидо ліній, вздовж яких напрямлені швидкості переносного рухута відносного руху, відповідно.
Для обчислення виразу (6) визначаємо:
1) положення механізму на траєкторії відносного руху
(м).
Оскільки (м), то механізм знаходиться в точці, тобто
2) швидкість переносного руху механізму ;
3) величину . Для цього визначаємо кутз геометричних міркувань= 0,5, тоді= 1,34 (м)
4) швидкість відносного руху = 6,71 (м/с).
Таким чином, вираз для кінцевого значення компоненти моменту імпульсу, з урахуванням напрямів векторів та, запишемо в вигляді
. (6)
Прирівнюючи вирази (4) та (6) отримуємо рівняння для визначення кутової швидкості
.
Звідки знаходимо
= 1,4 (рад/с).
Відповідь: кутова швидкість платформи = 1 рад/с,=1,4 рад/с.