Метод - Аналітична геометрія
.pdfНеповні рівняння площини:
|
Умова |
|
Рівняння |
Положення площини |
|
|
|
площини |
|
D 0 |
|
Ax By Cz 0 |
проходить через початок координат |
|
|
|
|
|
|
A 0 |
|
|
By Cz D 0 |
паралельна осі Ox |
|
|
|
|
|
A 0, D 0 |
|
By Cz 0 |
проходить через вісь Ox |
|
|
|
|
|
|
A 0, B 0 |
|
Cz D 0 |
паралельна площині Oxy |
|
|
|
|
|
|
А 0, B 0, |
D 0 |
z 0 |
площина Oxy |
|
|
|
|
|
|
A 0, C 0 |
|
By D 0 |
паралельна площині Oxz |
|
|
|
|
|
|
А 0, C 0 , |
D 0 |
z 0 |
площина Oxz |
|
|
|
|
|
|
B 0 |
|
|
Ax Cz D 0 |
паралельна осі Oy |
|
|
|
|
|
B 0, D 0 |
|
Ax Cz 0 |
проходить через вісь Oy |
|
|
|
|
|
|
B 0 |
, C 0 |
|
Ax D 0 |
паралельна площині Oyz |
|
|
|
|
|
B 0 |
, C 0 , |
D 0 |
x 0 |
площина Oyz |
|
|
|
|
|
C 0 |
|
Ax By D 0 |
паралельна осі Oz |
|
|
|
|
|
|
C 0 , D 0 |
|
Ax By 0 |
проходить через вісь Oz |
|
|
|
|
|
|
Кут між двома площинами
Нехай : |
A1x B1y C1z D1 0, |
|
|
A1, B1,C1 ; |
|
n1 |
|||||
: |
A2x B2 y C2z D2 0 , |
|
A2, B2,C2 . |
||
n2 |
Кут між двома площинами і дорівнює куту між відповідними векторами нормалей n1 і n2 :
cos |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1A2 |
B1B2 C1C2 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
A2 |
B2 C2 |
|
A2 |
B2 |
C2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||
Умова паралельності двох площин і |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
В1 |
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
В2 |
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
Умова перпендикулярності двох площин і :
А1А2 В1В2 С1С2 0
Відстань від точки M1 x1, y1, z1 до площини Ax By Cz D 0:
d Ах1 Ву1 Сz1 D . А2 В2 С2
2.2Розв’язання задач Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку
M 2; 3; 4 і має нормальний вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n 4i 2 j 3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Рішення. |
|
|
Достатньо |
|
|
|
|
|
|
|
використати |
|
|
|
|
|
рівняння |
|
|
|
площини |
||||||||||||||||||||||||||
|
A x x0 |
B y y0 |
|
C z z0 0 , |
що |
проходить |
через |
|
дану |
точку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярно даному |
вектору: |
4 x 2 2 y 3 3 z 4 0 , |
тобто |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x 2y 3z 14 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Приклади 2. Написати загальне рівняння площини, що проходить через |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки M1 |
1; 0; 3 , M2 |
1; 2; 2 , M3 2; 1; 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Рішення. Підставимо координати точок у рівнянні |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x x1 |
y y1 |
|
z z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
y z 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
0 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Розкриємо визначник: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
2 1 |
|
y |
|
|
|
2 |
1 |
|
z 3 |
|
2 |
2 |
|
0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Тоді шукане рівняння площини матиме вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 7 7 y z 3 0 0 |
7x 7 y 7 0 |
або x y 1 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Приклад |
3. |
|
Знайти |
|
кут |
|
|
|
між |
|
площинами |
|
: 2x 3y z 1 0 і |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
: x y z 5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Рішення. |
З умови прикладу |
маємо відповідні |
вектори нормалей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2;3;1 , |
|
1; 1;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
За |
формулою |
cos |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
A1A2 B1B2 C1C2 |
|
|
|
|
маємо |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
A2 |
B2 |
C |
2 |
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||
cos |
|
|
|
|
2 1 3 1 1 1 |
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
22 32 12 |
12 1 2 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, задані площини є перпендикулярними.
Приклад 4. Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину площин x y z 1 0 , 2x y z 2 0 і через точку M 0; 2;1 .
Рішення. Використаємо рівняння пучка площин
A1x B1y C1z D1 A2x B2 y C2z D2 0 , яке
при довільному значенні визначає деяку площину, що проходить через пряму перетину площин.
У нашому випадку x y z 1 2x y z 2 0 . Значення
знайдемо з умови, що координати точки М задовольняють рівняння шуканої |
|||||||||||||||||||||||||||||
площини: 0 2 1 1 0 2 1 2 0 , звідки |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Отже, |
шукане |
рівняння |
|
площини |
|
має |
|
|
|
вигляд |
||||||||||||||||
x y z 1 |
2 |
2x y z 2 0 або x y 5z 7 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Приклад |
5. |
Знайти відстань |
від |
|
точки A 2; 3; 4 |
|
|
до |
|
площини |
||||||||||||||||
x 3y 2z 5 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Рішення. Застосуємо формулу |
d |
|
Ax0 By0 Cz0 |
D |
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d |
|
|
1 2 3 3 2 4 5 |
|
|
|
|
4 |
. Значить, шукана відстань дорівнює |
|
|
4 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
12 32 |
22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
||||||||||
|
|
|
Приклад |
6. |
Знайти |
відстань |
між паралельними |
площинами |
|||||||||||||||||||||
2x 3y 6z 2 0 і 2x 3y 6z 14 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рішення. Для відшукання відстані між паралельними площинами потрібно знайти точку на одній з них і знайти відстань від цієї точки до іншої
площини. Покладемо в рівнянні першої площини y 0 і z 0 , |
отримаємо |
2x 2 0 , тобто x 1; отже, першій площині належить точка |
M 1; 0; 0 . |
Тепер за формулою для знаходження відстані від точки до площини маємо,
що d |
|
|
1 2 3 0 6 0 14 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
22 3 2 62 |
|
|
|
|
||||||||
Приклад 7. Знайти висоту піраміди |
h , якщо відомі координати її |
|||||||||||||||
вершин: S 1; 2; 1 , A 1; 0; 2 , |
|
B 0;1;1 , C |
2; 0; 1 . |
|||||||||||||
Рішення. Складемо рівняння основи АВС, тобто площини, яка |
||||||||||||||||
проходить через точки А, В, С: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
y 0 |
|
z 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 3x 4 y z 5 0 . |
|||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Довжину висоти знайдемо як відстань від точки S до площини АВС:
h |
|
3 1 4 2 1 1 5 |
|
|
5 |
|
. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32 42 12 |
|
26 |
2.3Вправи для самостійної роботи
1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку M1(2;1; 1) і має нормальний вектор n 1; 2;3 .
2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку M1(3;4; 5) паралельно векторам a1 3;1; 1 і a2 1; 2;1 .
3. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно до двох площин 2x y 3z 1 0 , x 2y z 0 .
4. Скласти рівняння площини, що проходить через точки
4.1M1(3; 1;2) , M2 (4; 1; 1) , M3(2;0;2) ;
4.2M1( 2;3;0) , M2 (4; 1;5) , M3(3;5; 1) ;
4.3M1(1;3;2) , M2 (2;5;1) , M3(1;0;2) .
5. Вкажіть, які з наступних пар рівнянь визначають паралельні площини:
5.1 2x 3y 5z 7 0 , 2x 3y 5z 3 0;
5.24x 2y 4z 5 0 , 2x y 2z 1 0 ;
5.3x 3z 2 0, 2x 6z 7 0 .
6. Вкажіть, які з наступних пар рівнянь визначають перпендикулярні площини:
6.13x y 2z 5 0 , x 3y 2z 5 0 ;
6.22x 3y z 3 0 , x y z 5 0;
6.32x 5y z 0 , x 2z 3 0 .
7.Скласти рівняння площини , яка проходить через точку M ( 2;3;4) паралельно до площини : x 2 y 3z 4 0 .
8.Знайти кут між площинами : x 2 y 2z 8 0 та : x z 6 0 .
9.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки A(3; 1;2) ,
B(4; 2; 1) перпендикулярно до вектора MB .
10. Знайти висоту піраміди h , якщо відомі координати її вершин:
S 3; 2; 1 , A 1;1; 2 , B 1; 2;1 , C 3; 0;1 .
§3. Пряма у просторі
3.1Основні теоретичні відомості
Нехай дано точку М0(х0, у0, z0) на прямій і вектор s l, m, n , що паралельний даній прямій.
Канонічні рівняння прямої :
х х0 |
|
у у0 |
|
z z0 |
. |
|
|
|
|||
l |
|
m |
|
n |
Рівняння прямої, що проходить через дві точки M1(x1, y1, z1) і
M2 (x2, y2, z2 ) :
х х1 |
|
у у1 |
|
z z1 |
. |
||||
|
|
|
|||||||
х |
х |
|
у |
у |
|
z |
2 |
z |
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
Параметричні рівняння прямої:
х х0 lt
y y0 mt ,z z0 nt
Пряма, як лінія перетину двох непаралельних площин:
|
А х В у С z D 0, |
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
(1) |
|
А2х В2 у С2z D2 0. |
|
|||
Рівняння |
(1) |
називаються |
загальними |
рівняннями прямої. Напрямний вектор s цієї прямої ортогональний до кожної з нормалей
|
1 А1, В1,С1 , |
|
2 А2, В2,С2 . |
n |
n |
Отже, можна вважати що s n1 n2.
Взаємне розміщення двох прямих
Нехай дано дві прямі, що визначаються рівняннями
|
х х1 |
|
у у1 |
|
z z1 |
, |
х х2 |
|
у у2 |
|
z z2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
l1 |
m1 |
|
n1 |
l2 |
m2 |
n2 |
||||||||
Під кутом між двома прямими L1 |
і L2 розуміють кут між |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
відповідними напрямними векторами s1 |
та s2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
s1 |
s2 |
, |
або cos |
|
l1l2 m1m2 |
n1n2 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
l12 m12 n12 |
l22 m22 n22 |
|
|
Умова перпендикулярності двох прямих має наступний вигляд: l1l2 m1m2 n1n2 0 .
Умова паралельності двох прямих матиме наступний вигляд:
l1 m1 n1 l2 m2 n2
3.2Розв’язання задач
Приклад 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку M 3; 2;1 паралельно до вектора a 1;2;3 .
Рішення
Оскільки задано точку та напрямний вектор, то рівняння прямої
напишемо скориставшись канонічним рівняння: |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. Тоді |
||||||||
l |
m |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
матимемо: |
x 3 |
|
y 2 |
|
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2. Пряму задано, як перетин двох площин
2x y 3z 1 0,5x 4 y z 7 0.
Звести до канонічного вигляду дане рівняння прямої.
Рішення
|
|
|
|
|
І |
|
спосіб. |
Виключимо |
|
спочатку |
у, |
|
|
|
а |
|
|
|
потім |
|
|
|
z. |
|
|
|
Одержимо, |
що |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13x 11z 11 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17x 11y 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Якщо розв’язати кожне рівняння системи відносно |
|
|
х, |
то |
|
отримаємо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
y 2 |
|
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
17 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ІІ спосіб. З рівнянь даних площин легко знайти, що |
n1 2; 1; 3 і |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n2 5; 4; 1 . Тоді напрямний вектор шуканої прямої |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s n1 n2 |
2 |
1 |
3 |
11i 17 j 13k s 11;17;13 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Знайдемо |
точку, |
яка |
лежить |
на заданій |
|
прямій. Для цього зручно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
покласти x0 0, отримаємо систему |
y 3z 1 0, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y z 7 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Розв’язуючи цю систему, знайдемо ординату та аплікату точки, яка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
належить даній прямій, |
y1 2, z1 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Отже, дана пряма має канонічні рівняння |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y 2 |
|
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2t, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2 t, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Приклад 3. Знайти кут між прямими l1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і l2 : |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3t. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||
|
|
|
|
|
Рішення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
З рівнянь прямих знайдемо напрямні вектори даних прямих |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s1 2; 8; 4 і s2 2; 1; 3 . Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
2 2 8 1 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 8 2 4 2 |
|
|
|
22 1 2 32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Приклад 4. При яких значеннях m і |
n |
|
прямі l |
: |
x 1 |
|
|
y 2 |
|
z |
та |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l : |
x 1 |
|
y 5 |
|
|
z 3 |
паралельні? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
n2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Рішення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
З умови паралельності прямих маємо |
|
m1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
, звідси |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m1 |
2 m 2 і |
2 |
2 n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3Вправи для самостійної роботи
1. Скласти канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку M1(2;0; 3) паралельно:
1.1вектору a1 2; 3;5 ;
1.2 прямій |
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
; |
|
|
|
|
1 |
||||
|
5 |
|
2 |
|
|
1.3осі Ох;
1.4осі Оу;
1.5осі Оz.
2. Скласти канонічне рівняння прямої, яка проходить через задані точки
2.1 |
M1 |
1; |
2; |
1 , |
M2 3; |
1; 1 ; |
|
|
2.2 |
M1 |
3; |
1; |
0 , |
M2 1; |
0; 3 ; |
|
|
2.3 |
M1 |
0; |
2; |
3 , |
M2 3; |
2; |
1 ; |
|
2.4 |
M1 |
1; |
2; |
4 , |
M2 1; 2; |
4 |
. |
3. Скласти параметричне рівняння прямої, що проходить через задані точки
3.1 |
M1 |
3; 1; 2 , |
M2 2; 1; 1 ; |
||
3.2 M1 |
1; 1; 2 , |
M2 3; |
1; 0 ; |
||
3.3 |
M1 0; 0; 1 , |
M2 |
0; 1; |
2 ; |
|
3.4 |
M1 |
2; 3; -1 , |
M2 |
1; -1; 3 ; |
|
3.5 |
M1 |
1; 2; 4 , |
M2 3; -4; 1 . |
4. Скласти канонічні рівняння наступних прямих:
4.1x 2 y 3z 4 0 ;3x 2 y 5z 4 0
4.2 5x y z 0 |
; |
2x 3y 2z 5 0 |
|
4.3x 2 y 3z 1 0 ;2x y 4z 8 0
4.42x 3y 2z 8 0 .x y z 9 0
5. Скласти параметричні рівняння наступних прямих:
5.12x 3y z 4 0 ;3x 5y 2z 1 0
5.2x 2 y z 6 0 .2x y z 1 0
6. Знайти гострий кут між прямими:
x |
|
y 2 |
|
z |
, |
x 2 |
|
y 3 |
|
z 5 |
. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
7. Знайти точку перетину прямої та площини:
7.1x 1 y 1 z , 2x 3y z 1 0 ;
12 6
7.2x 3 y 2 z 1 , x 2y z 15 0; 3 1 5
|
7.3 |
x 2 |
|
y 1 |
|
z 3 |
, |
x 2y 2z 6 0. |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
8. Знайти точку Q , яка симетрична точці P(4;1;6) відносно прямої |
|||||||||||||||
|
x y 4z 12 0 , |
2x y 2z 3 0 . |
|||||||||||||
9. |
Знайти проекцію точки P(5;2; 1) |
на площину 2x y 3z 23 0. |
|||||||||||||
10. |
Знайти точку Q , яка симетрична точці P(1;3; 4) відносно площини |
||||||||||||||
|
3x y 2z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
y 2 |
|
z 5 |
|
x 3t 7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. |
Довести, що прямі |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
y 2t 2 , лежать на |
||||
|
|
2 |
|
3 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2t 1 |
одній площині. Скласти рівняння такої площини. |
|||||||||||||||
12. Скласти рівняння прямої, |
яка проходить через точку M (1;1;1) |
||||||||||||||
перпендикулярно до векторів |
a 2i 3 j k |
та b 3i j 2k . |
13. Скласти рівняння прямої
13.1 яка проходить через точку M (5;3;4) паралельно до вектора a 2i 5 j 8k ;
13.2 яка проходить через точку M (2;3;11) паралельно до вектора a 3i 4 j 5k .
|
|
|
|
|
§4. Пряма і площина |
|
4.1 Основні теоретичні відомості |
||||||
Нехай дано площину |
Ах Ву Сz D 0, а також пряму з канонічним |
|||||
рівнянням |
х х0 |
|
у у0 |
|
z z0 |
. |
|
|
|
||||
|
l |
т |
|
n |
n А, В, С , s l, m, n .
|
|
|
s |
|
n |
|
|||
|
||||
|
|
Кут між цією прямою і заданою площиною: sin cos n s n s
або
sin |
|
Аl Bm Cn |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
А2 В2 С2 |
l2 m2 n2 |
||||||
|
|
|
|
Am Bn Cp 0 - умова паралельності прямої та площини, mA Bn Cp - умова перпендикулярності прямої і площини.
4.2 Розв’язання задач |
|
|
|
|
|
|
Приклад 1. Обчислити кут між прямою |
x 2 |
|
y 1 |
|
z 3 |
і площиною |
|
|
|
||||
|
3 |
4 |
2 |
|
||
x 2y 3z 7 0 . |
|
|
|
|
|
|
Рішення
Використаємо формулу кута між прямою і площиною, в якій А=1, В=2,
С=-3, l=3, m=4, n=2, то
sin |
|
|
1 3 2 4 3 2 |
|
|
|
|
0, 248 14 . |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 22 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
32 42 22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Приклад 2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку |
|||||||||||||||
M 1; 2; 3 перпендикулярно до прямої |
x 2 |
|
|
y 1 |
|
|
z 3 |
. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
||||||
Рішення Очевидно, що за нормальний |
вектор |
n шуканої площини |
|||||||||||||
можна взяти паралельний йому напрямний вектор прямої s 4; 3; 2 . Тоді |
скористаємося формулою рівняння площини, яка проходить через точку |
||
перпендикулярно до вектора: |
4 x 1 3 y 2 2 z 3 0 |
або |
4x 3y 2z 4 0 .