Лабораторная работа № 9

Тема: Распределение данных. Эмпирическое и теоретическое распределения

Понятие распределения.

Случайное событие, случайная величина

Основой для построения статистических моделей служит теория вероятностей. Предметом этой теории является изучение случайных событий и случайных величин.

Событие называется случайным, если при данных условиях испытания оно может произойти или не произойти. Возможность события определяется мерой- вероятностью (p) равной числу благоприятствующих исходов испытания к числу всех равновозможных.

То есть ; где m - число благоприятствующих исходов, а n-общее число исходов

Например, при бросании кубика выпадение грани с 2-мя очками может произойти или не произойти, при этом вероятность такого события рана 1/6.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Мера (степень) возможности принятия случайной величиной X конкретного значения x называется вероятностью этого значения p(x).

Свойства вероятности случайной величины

1. 0≤ p(x) ≤1,

2. 

Будем обозначать случайные величины буквами латинского алфавита X, Y, Z

Случайная величина бывает:
дискретной	непрерывной
дискретная случайная величина принимает конечное (или счетное) число возможных значений - xi (где i = 1.. n или i = 1 .. ∞) с определенными вероятностями.	непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно.
Пример: игральные кости. Выпадаемый номер - случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью 1/6.	Пример: рост студентов - рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений - бесконечно.

Закон распределения дискретной случайной величины

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃ ... x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

x1	x2	x3	...	xn	...
p1	p2	p3		pn

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто законом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Функция распределения случайной величины

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину.

Функция распределения также полно характеризует случайную величину (а для непрерывных величин является основной).

Она определяется соотношением ) и рассчитывается для дискретной величины X следующим овразом

x	x1	X2	….	xn	….
p(x)	p(x1)	p(x2)	….	p(xn)	….
F(x)	p(x1)	p(x1)+ p(x2)	….	p(x1)+ p(x2)+...+ p(xn)	….

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

X	1	2	3	4	5	6
P(x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Из определения функции распределения F(x ) следуют свойсва:

- вероятность того что случайная величина x примет значение меньшее чем a будет F(a);

- вероятность того что случайная величина x примет значение большее чем a будет 1-F(a);

- вероятность того что случайная величина x примет значение в интервале [a, b] будет

F(b)-F(a)

Если случайная величина принимает значения из непрерывного множества (например, отрезка числовой оси), то она называется непрерывной. Помимо функции распределения непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности распределения, которая является производной функции распределения, и аналогична многоугольнику распределения, только ее график непрерывная линия.

Из графиков можно увидеть, что вероятность того, что x попадет в интервал [x, x+Δx] равна отрезку F(x+Δx) - F(x) или площади заштрихованного столбика на втором графике

В дополнение к функции распределения используются числовые характеристики случайной величины. Ими являются:

• Математическое ожидание (среднее в статистике),

• Дисперсия, (характеристика разброса значений возле среднего)

• Среднее квадратичное отклонение –квадратный корень из дисперсии

Пример.1

Известен закон распределения

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(x)	0	0,3010	0,4771	0,6020	0,6989	0,7781	0,8450	0,9030	0,9542	1

И функция распределения F(x)=log₁₀x

Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [3; 7]

Решение:

по свойству функции распределения P(3 ≤ x ≤ 7) =F(7)-F(3)

Из таблицы находим = 0,8450 -0,4771 =0,3679

P(3 ≤ x ≤ 7) =F(7)-F(3)= log₁₀7 - log₁₀3= log₁₀=0,367977

Искомое значение: 0,367977

Далее будут рассмотрены и построены с помощью MS Excel наиболее распространенные распределения вероятности: биномиальное и нормальное.