2.3. Что надо уметь:

2.3.1. Определить тип соединения конденсаторов в батарею.

2.3.2. Использовать алгоритм решения задач на параллельное соединение конденсаторов.

2.4. Примеры решения задач

2.4.1. В задачах нашего курса на расчет электроемкости конденсаторов, последовательного соединения плоских конденсаторов, определение работы, энергии конденсаторов, а также на соответствующие расчеты для уединенных проводников следует учитывать, что:

а) если плоский конденсатор подключить к источнику питания, зарядить его и затем отключить, то при изменении емкости конденсатора вследствие раздвижения (сближения) пластин, внесения диэлектрика заряд на конденсаторе не меняется;

б) если конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, то могут меняться величины заряда, электроемкости и др., но при всех изменениях емкости остается неизменным напряжение.

В задачах на систему заряженных тел (обычно плоских конденсаторов) прежде всего необходимо установить тип соединения, и учитывать, что соединение конденсаторов может не относиться ни к последовательному, ни к параллельному.

Знание общей емкости соединения значительно упростит все дальнейшие расчеты, в последнем случае общую емкость сложного соединения можно найти просто в тех случаях, когда в схеме есть точки с одинаковыми потенциалами. Такие точки можно соединить и разъединить, распределение зарядов и потенциалов на конденсаторах от этого не изменится.

Следует также помнить, что потенциал земли и всех тел, соединенных с проводником с землей, принимается равным нулю.

2.4.2. Более сложные задачи на параллельное соединение конденсаторов рекомендуется решать, придерживаясь следующей последовательности действий:

1. Определить емкость каждого конденсатора до соединения в батарею.

2. Определить общую электроемкость соединения.

3. Найти общее напряжение после соединения.

4. Определить общий заряд после соединения.

5. найти искомое неизвестное.

Задача 2.4.1 (а)Большая шарообразная капля воды получена в результате слияния 125 одинаковых мелких шарообразных капелек. До какого потенциала были заряжены мелкие капельки, если потенциал большой капли оказался равным 5 В?

Анализ и решение:

Обозначим радиус и заряд мелких капелек через r₁иq₁, а большой капли - через r₂иq₂.

Зная, что емкость шара

, получим:;

.

Отсюда .

По закону сохранения зарядов .

Тогда ;

Это можно переписать так: .

Отношение определим из условия равенства объемов большой капли и всех маленьких капелек.

;

Подставив отношение в выражение для, получим

.

Задача 2.4.1 (б)Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из пропарафинированной бумаги равно 2 мм, а напряжение между пластинами 200 В. Найти плотность энергии поля.

Анализ и решение:

Плотность энергии поля – это , гдеV- объем поля между пластинами конденсатора. =Sd, гдеS– площадь пластин,d– расстояние между пластинами.

;

;

.

Задача 2.4.1 (в)На плоский воздушный конденсатор подается разность потенциаловU₁= 2 кВ. Размеры пластин 40 х 60 см, расстояние между нимиd = 0,5 см. После зарядки конденсатор отключают от источника и затем раздвигают его обкладки так, что расстояние между ними увеличивается вдвое. Определите: а) работу по раздвижению обкладок; б) плотность энергии электрического поля и после раздвижения обкладок.

Анализ и решение.

Работа по раздвижению пластин равна изменению энергии заряженного конденсатора

A=W₂–W₁(1)

Энергия конденсатора:

и(2)

Так как конденсатор был отключен от источника, то заряд на его обкладках не изменяется, т.е. q₁ = q₂ = C₁U₁ = C₂U₂.

C₁U₁ = C₂U₂ (3)

Емкость конденсатора при первом положении обкладок

, так как, при втором положении,

(4)

Подставим значения c₁и с₂в (3):

(5)

Работа по раздвижению обкладок из (1), (4), (5):

.

Подставив числовые значения, получим:

Плотность энергии электрического поля можно рассчитать по формуле:

.

Плотность энергии до раздвижения пластин ;

После: .

Поскольку ,

Т.е. , т.е. плотность энергии не изменилась.

Задача 2.4.1 (г)Пять конденсаторов одинаковой емкости соединены последовательно в батарею. Параллельно одному из конденсаторов подключен статический вольтметр, емкость которого в два раза меньше емкости каждого конденсатора. Вольтметр показывает 500 В. какая разность потенциалов во всей батарее?

Анализ и решение:

Найдем емкость конденсатора и параллельно соединенного с ним вольтметра.

Тогда электроемкость всей батареи конденсаторов и вольтметра можно подсчитать:

.

Заряд в системе конденсатор – вольтметр q=C₁U₁, но при последовательном соединении этот заряд будет и на всей батарее.

Следовательно, разность потенциалов на батарее

.

Подставив числовые значения, получим: .

Задача 2.4.2 (а)Проводник емкостью 10 пФ имеет заряд +600 нКл, а проводник емкостью 30 пФ имеет заряд -200 нКл. Найти заряды и потенциалы проводников, если их соединить проволокой.

Анализ и решение:

После соединения проводников проволокой они будут представлять собой эквипотенциальную поверхность. Поэтому такое соединение аналогично параллельному соединению конденсаторов.

1. Емкость первого проводника до соединения С₁, а также емкость второго С₂проводника до соединения, известны. Емкостью соединительного проводника можно пренебречь.

2. Общая емкость после соединения

3. Общий заряд после соединения q=q₁+q₂с учетом знака зарядов

4. Из формулы емкости

, гдеи есть потенциал проводников, соединенных проволокой.

5. Заряды на каждом проводнике после соединения найдем, зная емкость каждого проводника и потенциал.

Задача 2.4.2 (б)Конденсатор емкостью С зарядили до напряженияU₁= 500B. При параллельном подключении этого конденсатора к незаряженному конденсатору емкостью С₂= 4 мкФ вольтметр показал U₂= 100 В. Найти емкость С₁.

Анализ и решение:

Так как конденсаторы соединены параллельно, то используем схему решения.

До соединения емкости конденсаторов были соответственно С₁и С₂. После соединения емкость батареи стала С = С₁+ С₂.

Общее напряжение после соединения U₂известно.

Определим заряд батареи q = q₁+q₂. Но q₂= 0, так как второй конденсатор не был заряжен, значит q = q₁. Исходя из формулы емкости,.

Но заряд q₁ можно определить из соотношения;

Подставив это значение заряда в формулу емкости батареи, получим:

По первой формуле емкость батареи С = С₁+ С₂., по последней. Поэтому. Отсюда искомое неизвестное:

.

Задача 2.4 (в)К воздушному конденсатору, заряженному до напряжения 210 В, присоединили параллельно такой же незаряженный конденсатор, но с диэлектриком из стекла. Какова диэлектрическая проницаемость стекла, если напряжение на зажимах батареи оказалась равным 30 В?

Анализ и решение:

Электроемкость первого конденсатора до соединения , второго

Емкость батареи С = С₁+ С₂., общее напряжение батареи U₂известно.

Определим заряд батареи: q = q₁+q₂, ноq₂= 0;q =q₁.

По определению

Но заряд можно определить, зная C₁иU₁:q₁= C₁U₁.

Поэтому

Подставим значение C₁и C₂с учетом, что

Задача 2.4.2 (г)Конденсатор емкостью C₁= 3 мкф заряжен до разности потенциаловU₁= 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C₂= 5 мкф. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Анализ и решение:

Энергия W¹, израсходованная на образование искры W¹= W₁ – W₂, где W₁ - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора.

W₂– энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Так как , а емкость батареи, то

,

где u₂– напряжение на зажимах батареи.

Так как q₂ = 0, q = q₁

Ответ: энергия, израсходованная на образование искры, равна 1,5 мДж.