Практическое занятие № 4

4. Законы сохранения в механике

4.1. Сводка формул

1. Закон сохранения импульса const или для двух тел , где и - скорости тел в мо­мент времени, принятый за начальный; и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

или .

Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины , где k- жесткость пружины, x – абсолютная деформация.

Б) тела, находящиеся в однородном поле силы тяжести ,

где g – ускорение свободного падения, h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой. Формула справедлива при , R – радиус Земли.

Закон сохранения механической энергии.

E=T+П= const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси = const.

Поступательное движение

Вращательное движение

Кинетическая энергия

Закон сохранения

Импульса

Момент импульса

4.2. Вопросы для повторения.

1. Что называется изолированной (замкнутой) системой?

2. Какие силы называются внешними?

3. Какие силы называются внутренними?

4. Чему равна производная по времени от импульса механической системы?

5. Сформулируйте закон сохранения импульса для замкнутой системы.

6. Дайте определение энергии.

7. Что называется кинетической энергией тела?

8. Чем отлича­ются консервативные силы от неконсервативных?

9. Что назы­вается потенциальной энергией?

10. Напишите выражения потен­циальной энергии тела, подня­того над поверхностью земли, и потенциальной энергии сжа­той пружины.

11. Сформулируй­те закон сохранения полной ме­ханической энергии. Назовите условия, при которых выполняется этот закон.

12. Что назы­вают механической работой?

13. Как связаны между собой ра­бота и энергия?

14. Напишите формулы для расчета работы постоянной и переменной силы.

15. Что называют механической мощностью?

16. Чему равны средняя и мгновенная мощно­сти при переменном движении?

17. Назовите единицы энергии, работы и мощности в СИ.

18. Что называют коэффициентом полезного действия механизма

4. З.Что надо уметь:

4.3.1. Уметь отличать замкнутую систему от незамкнутой.

4.3.2. Находить проекции векторов импульса на оси с их знаками.

4.3.3. Определять вид энергии тела в данной задаче.

4.3.4. Выбирать нулевой уровень потенциальной энергии.

4.3.5. Записывать законы сохранения для конкретной задачи.

4.4. Примеры решения задач

Используя законы сохранения импульса, момента импульса и энергии можно найти связь между параметрами движения тела (ко­ординатами, скоростями) или системы тел в различных состояниях. В некоторых случаях, когда характер взаимодействия неизвестен, только законы сохранения позволяют найти по известным парамет­рам системы в одном состоянии ее параметры в другом состоянии. Подобная ситуация, например, имеется при кратковременных взаи­модействиях, таких как удар, взрыв и т.п.

Задачи, которые необходимо научиться решать в рамках данной темы, следующие:

4.4.1. Задачи на использование закона сохранения импульса.

4.4.2. Задачи на применение закона сохранения момента импульса.

4.4.3. Законы на применение закона сохранения механической энергии.

4.4.4. Комбинированные задачи.

При решении задач (4.4.1) следует учитывать, что закон сохране­ния импульса можно применять только к замкнутым системам, т.е. к системам тел, на которые не действуют внешние силы (либо вектор­ная сумма внешних сил равна нулю).

Природа внутренних сил не является существенной, к числу этих сил могут, например, относиться и силы трения. Рекомендуется следующий порядок анализа и решения этих задач:

1. Выбрать систему отсчета.

2. Записать импульсы всех тел в векторной форме до взаимодей­ствия и после взаимодействия.

3. Сумму импульсов до взаимодействия приравнять к сумме им­пульсов после взаимодействия (т.е. составить векторное уравнение закона сохранения импульса).

4. Найти проекции импульсов на оси ОХ и ОУ.

5. Записать уравнение закона сохранения импульса в проекциях и решить его относительно искомого неизвестного, используя, если нужно, уравнение кинематики или динамики.

Решение задач на применение закона сохранения момента им­пульса (4.4.2.) ограничивается рассмотрением случаев вращения тел вокруг закрепленной оси. Поэтому их удобно решать по следующе­му плану:

1. Выяснить, замкнута ли система.

2. Определить моменты импульсов всех тел до взаимодействия и после него.

3. Сумму моментов импульсов до взаимодействия приравнять к сумме моментов импульсов после взаимодействия и найти искомое неизвестное, используя, при необходимости табличные формулы момента инерции тела и др.

Задачи на закон сохранения механической энергии (4.4.3.) удобно решать по следующему плану:

1. Выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии (ча­ще всего совпадающий с самым низким возможным положением тела).

2. Выбрать удобные точки положения тел 1 и 2 на траектории движения тела.

3. Записать формулы кинетической и потенциальной энергии те­ла в точке 1, затем тоже в точке 2.

4. Выяснить, действуют ли внутри системы силы трения.

5. Если нет, то алгебраическую сумму кинетической и потенци­альной энергии тела в точке 1, приравнять к алгебраической сумме кинетической и потенциальной энергии в точке 2.

6. Если действуют, то разность между полной энергией в точке 2 и полной энергией в точке 1 равна по модулю работы сил трения (количеству выделявшейся теплоты).

Необходимо также учитывать, что при упругом центральном ударе тел выполняется и закон сохранения импульса, и закон сохра­нения энергии. При неупругом центральном ударе закон сохранения импульса выполняется, закон сохранения механической энергии не выполняется, т.к. часть энергии расходуется на остаточную дефор­мацию, т.е. переходит в тепловую энергию.

Наиболее часто встречаются задачи, в которых необходимо ис­пользовать не один, а несколько законов сохранения, например, за­кон сохранения энергии и закон сохранения импульса.

Поэтому при решении задач (4.4.4.) необходимо учитывать все вышеперечисленные обстоятельства.

Задача 4.4.1(а) Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с попадает в ва­гон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость полу­чит вагон если:

1. Вагон стоял неподвижно; 2. Вагон двигался со скоростью 36 км/ч в том же направлении, что и снаряд; 3. Вагон двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположно движению снаряда?

Дано: =100 кг; =500 м/с; =0; =10 т = кг;

км/ч = 10 м/с.

=?; = ?; = ?.

Анализ и решение:

Начнем анализ условия задачи с третьего вопроса. Систему снаряд-вагон можно считать замкну­той, т.к. силами тяжести, сопротивления, нормаль­ной реакцией опоры можно пренебречь либо ввиду их малости, ли­бо в следствии взаимной компенсации. Поскольку и снаряд, и вагон перемещаются вдоль одной прямой, достаточно выбрать одну ось X с началом, совпадающим с начальной скоростью снаряда.

X

0

Запишем импульсы снаряда и вагона:

До взаимодействия - импульс снаряда;

- импульс вагона. После взаимодействия, т. к. удар не­упругий, оба тела будут двигаться вместе со скоростью - импуль системы после взаимодействия.

Составим векторное уравнение закона сохранения импульса:

Рассмотрим третий случай.

Проекции импульсов с учетом направления оси ОХ: снаряда - , вагона, поскольку он движется против оси, - .

Уравнение в проекциях на ось ОХ:

,

Подставим числовые значения:

4,9(м/с).

Знак «-» указывает, что вагон с застрявшей в нем пулей будет двигаться в прежнем направлении (но с меньшей скоростью).

Ответить на 1 и 2 вопросы студентам рекомендуется самостоя­тельно.

1) ; т.к. =0.

Вагон будет двигаться в сторону направления движения снаряда.

2)

(м/с).

Задача 4.4.1(6) Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой = 2,5 кг под углом = 30° к горизонту со ско­ростью 10 м/с. Какова будет начальная скорость движения конь­кобежца, если масса его

= 60 кг ? Перемещением конькобежца во время броска пренебречь.

Дано: = 2,5 кг; = 30°; = 60 кг; =10 м/с.

-?

Анализ и решение:

Направим ось ОХ в сторону движения конькобежца. Векторное уравнение закона сохранения импульса: .

0 X

До взаимодействия - . После взаимодействия - про­екция импульса камня, где . - проекция импульса конь­кобежца.

Сумма проекций импульсов на ось ОХ до взаимодействия равна сумме проекций импульсов после взаимодействия.

; - ;

Знак «-» указывает на то, что конькобежец будет двигаться в сторону, противоположную движению камня.

Задача 4.4.2(а) Горизонтальная платформа массой = 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр плат­формы, с частотой

= 8 об/мин. Человек массой = 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края плат­формы к ее центру? Считать платформу круглым, однородным дис­ком, а человека - материальной точкой.

Дано: = 150 кг; = 8 об/мин; = 70 кг.

- ?

Анализ и решение:

Платформа вращается по инерции. Следо­вательно, момент внешних сил относительно оси вращения, совпадающей с геометрической осью платформы, равен 0. При этом условии момент импульса L системы платформы - че­ловек остается постоянным.

= const.

Здесь J - момент инерции платформы с человеком относительно оси,

- угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в систему, поэтому , где и соответст­венно моменты инерции платформы и человека.

Моменты импульсов тел:

До взаимодействия . После взаимодействия

Момент инерции платформы относительно ее оси вращения при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассмат­ривать человека как материальную точку, то его момент инерции до перехода к центру , где R - радиус платформы. В центре платформы момент инерции человека = 0.

Угловая скорость связана с числом оборотов так: , где t - время в секундах (1мин=60 с).

Подставив в уравнение закона сохранения импульса эти значе­ния, получим:

;

Подставим числовые значения:

= 160 рад/с.

Задача 4.4.2(6) На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи = 70 см. Скамья вращается с частотой = 1 . Как изменится частота вращения скамьи и какую работу А произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до

= 20 см ? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси

= 2,5 .

Дано: = 1 ; m=5 кг; = 70 см; = 20 см; = 2,5 .

-?; А-?

Анализ и решение:

Человек, держащий гири, составляет вместе со скамьей замкнутую механиче­скую систему, поэтому , где .

До взаимодействия , после взаимодействия .

По закону сохранения момента импульса

.

Работа равна изменению кинетической энергии

=

(Дж).

Задача 4.4.3(а) Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется об стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку

v = 10 см/с, после удара U=8 см/с . Найти количество теплоты Q, выделившейся после удара.

Дано: m = 1 кг; v = 10 см/с =м/с; U=8 см/с = м/с.

Q-?

Анализ и решение:

Примем нулевой уровень потенциальной энергии совпадаю­щим с плоскостью, по которой катится шар. Тогда до удара о стенку его кинетическая энергия

, после удара . Но , а

, .

Так как при ударе часть теплоты выделяется, то

; ;

Дж; Q= 2,52 мДж.

Задача 4.4.3.(6) Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние S может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м каждые 100 м пути.

Дано: v=7,2 км/ч = 2 м/с; sin=0,1.

S -?

Анализ и решение:

1. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии совпадаю­щим с основанием горки .

2. Точку 1 выберем совпадающей с положением обруча у основа­ния горки, точку 2 - совпадающей с конечным положением обруча, прошедшего расстояние S.

3. Кинетическая энергия тела в точке 1: , потенциальная . В точке 2 кинетическая энергия =0, а по­тенциальная .

4. По закону сохранения механической энергии: .

Поэтому .

Ho , , - момент инерции обруча, где

R - радиус обруча. Подставим значения , в формулу со­хранения энергии: ; ;

; 4,1 (м).

В этой задаче мы пренебрегаем силами сопротивления, вся энер­гия переходит из кинетической в потенциальную.

Задача 4.4.4(а) Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули =5г, масса шара = 0,5 кг. Скорость пули = 500 м/с . При каком предельном расстоянии от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?

Дано: =5г, = 0,5 кг, = 500 м/с.

- ?

Анализ и решение:

2

Удар пули следует рассматривать как

неупругий; после удара и пуля, и шар будут

двигаться с одинаковой скоростью. По закону

со­хранения импульса, импульс пули до удара

будет равен им­пульсу шара с

застрявшей в нем пулей: . 1

= ; .

Выберем нулевой уровень отсчета потенциальной энергии шара с пулей в поле силы тяжести, совпадающим с самым низким положе­нием шара. В положении 1 кинетическая энергия шара с пулей , потенциальная . В положении 2 , =0, а ,

где - расстояние от точки подвеса до цен­тра шара.

Пренебрегая потерями, воспользуемся законом сохранения меха­нической энергии: ; =.

.

(м).

Задача 4.4.4.(6) По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой =300кг, ударяет молот массой =8 кг. Определить КПД удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, пошедшую на деформацию куска железа.

Дано: =300кг, =8 кг.

-?

Анализ и решение:

Молот до удара обладал импульсом , ку­сок железа с наковальней не двигались, их им­пульс равен 0. После удара обозначим скорость молота с наковальней через U. По закону сохра­нения импульса =.

Массой куска железа можно пренебречь: .

Молот до удара обладал кинетической энергией , эта

энергия пошла на деформацию железа, наковальни и фундамента.

В результате сопротивления фундамента скорость U быстро га­сится, а кинетическая энергия системы молот - подковка с нако­вальней передается фундаменту. Эту энергию определим:

, но так как

, то .

Полезная энергия пошла на деформацию куска железа:

Энергия молота пошла на деформацию куска железа и пере­далась ее фундаменту, т.е. в данном случае эта затраченная энергия. Поэтому

, =97,4%.