Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции СВ1-1-2.doc
Скачиваний:
244
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
4.07 Mб
Скачать

Пример 7.

Кривая проходит через точку А (2; -1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности равным 3. Найти уравнение этой кривой.

Решение

Пусть у = у (х) – искомое уравнения кривой. Выразим все упомянутые в задаче величины через х, у, у/. Тогда данное в условии соотношение будет представлять собой дифференциальное уравнение, из которого можно найти функцию у(х).

Пусть М (х, у) – произвольная точка искомой кривой (рис. 2).

Согласно геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент k касательной в точке М (х, у) определяется по формуле:

k=у/(х) (37)

По условию задачи: k = 3у2. Откуда, с учетом (37) получаем следующее дифференциальное уравнение: у/ = 3у2 (38)

Уравнение (38) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Решим его (см. лекция 1): ;

;

;

;

;

;

. (39)

Так как искомая кривая проходит через точку А (2; -1), т.е. у (2) = -1, то подставив в общее решение (39) уравнения (38) это начальное условие , определим значение параметра С:

; .

Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид: (40)

Кривая (40) представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке , асимптотами которой служат прямые и у = 0 (ось Ох).

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия

Дифференциальные уравнения высших порядков имеют большое значение в прикладных задачах. Так, например уравнения 2-го порядка – в теории колебаний, теории электрических цепей, в задачах механики.

Согласно данному в лекции 1 определению, самый общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n – го порядка (n ≥ 2) следующий:

, (41)

где F – известная функция своих аргументов;

х – независимая переменная;

у – неизвестная искомая функция, зависящая от х.

В данном курсе ограничимся рассмотрением уравнений n – го порядка, разрешенных относительно старшей производной, т.е. имеющих вид:

, (42)

где f – известная функция своих аргументов.

Решением дифференциального уравнения (42) (или (41)) называется всякая n – раз дифференцируемая функция , которая обращает указанное уравнение в тождество (лекция 1, пример 1).

Задача Коши для дифференциального уравнения n – го порядка (n ≥ 2) состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям:

(43)

где - заданные действительные числа.

Условия (43) называются начальными условиями.

Для дифференциального уравнения 2-го порядка начальные условия (43) имеют вид: ;

,

а геометрическая интерпретация задачи Коши заключается в следующем: среди интегральных кривых отыскать такие, которые проходят через точку М00, у0) плоскости Оху и имеют в этой точке касательную с угловым коэффициентом k равным у/0 (т.е. k = у/0).

Общим решением дифференциального уравнения n – го порядка называется n – параметрическое семейство функций:

, (44)

удовлетворяющее следующим условиям:

а) при подстановке функции (44) в уравнение последнее обращается в тождество относительно х при любых допустимых значениях произвольных постоянных С1, С2,. Сn..

б) при любых допустимых начальных условиях (43) найдутся такие значения С10, С20,. Сn0 постоянных С1, С2,. Сn, что функция будет удовлетворять этим начальным условиям.

Общее решение дифференциального уравнения (50) (или (49)), найденное неявно в виде: (х, у, С1, С2, , Сn) = 0 называется общим интегралом этого уравнения.

Всякое решение , получаемое из общего решения (44) при конкретном вполне определенном наборе значений постоянных , называется частным решением.

Интегрирование дифференциальных уравнений n – го порядка точным аналитическим методом (в квадратурах) удается произвести только в некоторых частных случаях, которые и рассматриваются в следующих параграфах.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]