6.5 Угол между прямой и плоскостью

Углом φ между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость

р: Ах + By + Cz + D = 0,

где (A, В, С) - нормальный вектор плоскости;

(m, и, р) - направляющий вектор прямой l.

Пусть a - угол между векторами и , тогда а = 90- φ, следовательно: cosa=cos(90 - φ) =sina.

Из определения скалярного произведения:

или

или

В частности,

если l||p, то тогда Ат+Вп+Ср=0,

если l p, то , тогда

Пример 26. Найти угол между прямыми l: у- 2х + 5 = 0 и l₂: 2y+x+3=0

Решение

Следовательно, , то есть прямые перпендикулярны.

Пример 27. Найти точку пересечения прямой

с плоскостью р: х+2у+z - 4=0.

Решение

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим в уравнение плоскости Р, получим

2t+1+2(t-5)+t+3-4=0, 5t=10 или t=2, тогда х =5, y=-3, z=5.

Точка М (5, -3, 5) является точкой пересечения прямой l с плоскостью Р.

Пример 28. Лежит ли прямая

в плоскости Р: x-y-z-3=0.

Решение

Поступаем так же, как в предыдущей задаче,

получим 2t+ 1 --(t-5)-(t+3)-3=0,

2t-t-t+1+5-3-3=0;

0t = 0, получили тождество, то есть при любом t мы получим все точки прямой l, следовательно, прямая l принадлежит плоскости

Пример 29. Найти угол между прямой

и плоскостью Р: х + 2у + z - 4 = 0.

Решение.

Вектор

Вектор тогда

тогда

Лекция 7 кривые второго порядка

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=O, называется кривой второго порядка, причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля

Если А = В = С = 0, то получим уравнение первого порядка, которое определяет прямую на плоскости

Если данному уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, то имеем так называемую мнимую кривую, например, x²+ у² = -1 есть уравнение мнимой окружности.

В общем случае может оказаться, что уравнение определяет вырожденную кривую - либо пустое множество, либо точку, либо прямую, либо пару прямых (приведите примеры).

В дальнейшем рассмотрим только невырожденные кривые. Можно показать, что для таких кривых существует прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответственно эллипса, гиперболы и параболы.

7.1 Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных есть величина постоянная.

Пусть М(х,у) - произвольная (текущая) точка кривой, F₁ и F₂ -заданные точки. По условию:

Пусть тогда F₁(-c;0); F₂(c,0)

каноническое уравнение эллипса

Параметры а и b называются полуосями (большой и малой) эллипса, начало координат - центром кривой. Точки f₁ (-с, 0) и F₂ (с, 0) называются фокусами эллипса, где с² = а² -b².

Число или называется эксцентриситетам эллипса, оно характеризует «сплюснутость» кривой.

В частности, при ε=0, (a=b), имеем

или x²+y²=a² - каноническое уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат (фокусы F₁ и F₂ совпадают с центром).

7.2 Гиперболой называется множество точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (отличная от нуля).

По условию

Каноническое уравнение гиперболы:

где а и b называются полуосями гиперболы, точки (а, 0) и (-а, 0) - ее вершинами, оси симметрии ОХ и OY - соответственно действительной и мнимой осями, точки F₁ (-с, 0) и F₂( с, 0) -фокусами гиперболы.

Число называется эксцентриситетом гиперболы.

b

a

Прямые (диагонали прямоугольника в центре), уравнения которых

,

являются асимптотами гиперболы.

Гиперболу, каноническое уравнение которой называют сопряженной, график ее имеет следующий вид:

b

a

7.3 Параболой называется множество точек, равноотстоящих от заданной точки, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.

Пусть М(х,у) - текущая точка кривой, - заданная точка, фокус;

уравнение заданной прямой (директрисы)

- расстояние от точки М до директрисы, оно равно

По условию или

Выполним преобразования: ;

окончательно каноническое уравнение параболы:

y²=2xp

O

Число Р называется параметром параболы; точка O(0;0) -вершина параболы;

ось ОХ - ось симметрии параболы;

прямая - директриса параболы, проходит на расстоянии от вершины параболы.