- •Лекция 10
- •10.1 Неопределённый интеграл, его свойства
- •Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
- •10.2 Методы интегрирования
- •Определённый интеграл, его свойства
- •2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям
- •2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •2.1.6 Несобственные интегралы
- •Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:
- •Пример 14
- •Лекция 14 дифференциальные уравнения
- •2.2.1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
- •2.2.2 Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Лекция15
- •Лекция16 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •16.1 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. . Метод Лагранжа
- •Лекция17 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •Лекция18
- •Свойства сходящихся числовых рядов
- •2.3.2 Достаточные признаки сходимости рядов
- •Лекция19 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.
- •2.3.4 Функциональные ряды. Степенные ряды
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
Лекция 10
10.1 Неопределённый интеграл, его свойства
Первообразная функция и неопределённый интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке
.
Например, функция F(x)=x3 является первообразной функции f(x)=3x2 на всей числовой оси, так как (x3)/=3x2 при любом x. Отметим, что вместе с функцией F(x)=x3 первообразной для f(x)=3x2 является любая функция вида Ф(х)=х3+С, где С – произвольное постоянное число.
Лемма о первообразных
Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.
Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x) можно записать в виде F(x)+C.
Выражение F(x)+C, где F(x) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом , причёмf(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением,
х – переменной интегрирования; –знак неопределённого интеграла.
Таким образом, по определению
если .
Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл?
Свойства неопределённого интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого
или
где С – произвольное число
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
где k – некоторое число.
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций
Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
.
, в общем случае
, в частности
9)
10)
11)
12)
10.2 Методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путём преобразований и применения свойств неопределённого интеграла.
Пример 1. Найти интеграл
Решение:
.
Пример 2. Найти интеграл
Решение:
Замена переменной интегрирования
Если , где- функция, имеющая непрерывную производную, тогда; подставляя в интеграл, получим
Пример 3. Найти интеграл
Решение:
Воспользуемся подстановкой x=t2. Тогда , получим
Интегрирование по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула
.
Пример 4. Найти интеграл
Решение:
Пусть u=x du=dx,
; Используя формулу интегрирования по частям, получим
Лекция 11
Интегрирование простейших рациональных дробей
Многочленом степени n называется выражение вида , где– действительные числа. Например, 5–7x – многочлен первой степени ,
=2x3 – 3x2 +8x – 1 – многочлен третьей степени.
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, – рациональные дроби. Всякая рациональная дробь имеет вид:
где – многочлены степени m и n соответственно.
, если
Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:
I);II)III);IV)
Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:
,
где k – целое, .
От дробей третьего и четвёртого типов вычисляют заменой ,или по следующим формулам:
Разложение многочленов на множители
Для любых многочленов имеет место теорема Безу:
, где z0 простой корень
, где z0 корень кратности k.
Если z корень комплексный: , гдеi=
и , то, где– сопряженный корень.
Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители
–действительные корни; комплексные корни
Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби представлен в виде сомножителей :
Пример 5. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:
а) ;
б) .
Решение:
а)
б)
Пример 6. Вычислить интеграл:
Решение:
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби
приравнивая числители дробей, получаем:
Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:
Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.
Лекция 12
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где
Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.
В этом случае,
Тогда
.
Пример 7. Найти
Решение:
Положим . Тогда, используя выражения черезt для dx и sinx, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен
При вычислении интегралов вида
рассмотрим частные случаи:
n – нечётное
n, m – чётные, .
применяют формулы тригонометрии:
При вычислении интегралов вида делают замену , тогда
Если интеграл имеет вид
,
где n, m – чётные, применяют формулу:
Пример 8. Вычислить интегралы:
а)
б)
Решение:
а)
б)
При вычислении
используют формулы
Интегрирование иррациональных выражений
При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.
Если ,
то , где
Если
то , где
Лекция13