Высшая математика

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Часть I

Линейная алгебра

и

аналитическая геометрия

Курс лекций

Лекция 1

МАТРИЦЫ

1.1 Общие сведения о матрицах

Матрицей А размерности тп называется прямоугольная таблица чисел:

,

где т - число строк матрицы, п - число столбцов матрицы. Матрицу можно записывать в виде: или , где a_ij - элементы матрицы; первый индекс i указывает номер строки,;второй индекс j – номер столбца,

.

Например, - матрица размерности 2х3; - матрица-столбец;

- матрица-строка.

Матрица называется квадратной, если т = п, число п называют ее порядком.

- квадратная матрица третьего порядка.

Элементы a_ij составляют главную диагональ матрицы, а элементы a_1n , a_2n-1 ,… , a_n1 - вспомогательную, побочную диагональ матрицы.

Если все a_ij = 0 (ij), за исключением элементов, стоящих на главной диагонали а_ii, то матрицу называют диагональной, например:

Диагональная матрица называется единичной, если все a_ii = 1 , обозначают:

.

Если все a_ij = 0, то матрица называется нулевой, обозначают 0.

Нулевая и единичная матрицы выполняют в матричном исчислении такую же роль, как 0 и 1 в теории действительных чисел.

Две матрицы А и В называются равными, если они одной и той же размерности и их соответствующие элементы равны между собой.

А=В, если a_ij= b_ij .

1.2 Операции над матрицами

1) Суммой матриц А+В называют такую матрицу С, для которой c_ij=a_ij+b_ij.

Складывать можно матрицы одинаковой размерности. Операции сложения матриц обладают такими же свойствами, что и операции сложения действительных чисел: А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

А+0=А

2) Произведением матрицы а на действительное число

называют такую матрицу С = А, для которой c_ij=а_ij.

Из данного определения вытекают следующие свойства:

α βA= α(βA)

α (A+B)= α A+ α B

(α +β)A= α A + β B

где α, β - действительные числа;А, В - матрицы.

Разность матриц А - В можно ввести как сумму А +(-1)В.

3) Произведением матрицы на матрицу называется матрица элементы которой ; ,

то есть элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

В общем случае: АВ ВА.

Матрицы называются коммутативными, если АВ=ВА

Имеют место следующие свойства произведения матриц (проверьте самостоятельно):

(АВ)С=А(ВС),

(А+В)С=АС+ВС,

α АВ = (α А)В = А(α В),

АЕ = ЕА = А, где Е - единичная матрица,

А 0 = 0, где 0 - нулевая матрица.

Если у матрицы А строки заменить соответствующими столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу, которую обозначают A^T.

Имеют место следующие свойства для A^T (проверьте самостоятельно):

(A^T)^T=A

(A+B)^T= A^T+B^T

(α A)^T= α A^T

(AB)^T=B^T A^T

Пример 1. Найти: С = 2А - 3(В - А),

где ;

Решение. С=2А-3(В-А)=2А-ЗВ+ЗА=5А-ЗВ.

Пример 2. Найти АВ,

где ; .

Решение.

Упражнение. Найти А(В+2А), если

;