5. Формулы Бейеса.
Формулы Бейеса применяются при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий , , … , , которые образуют полную группу несовместимых событий, произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий , , … , . Априорные (до опыта) вероятности , , … , известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е. по существу нужно найти условные вероятности , , … ,. Для события формула Бейеса выглядит так:
.
Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), имеем:
.
Пример 8. Пользуясь данными примера 7, рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная на первом, втором и третьем станках соответственно, если узел сходящий с конвейера, годный.
Решение. Расчет условных вероятностей произведем по формуле Бейеса. Имеем:
для первого станка
;
для второго станка
;
для третьего станка
.
ЗАДАЧИ
1. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: - выпал “герб”; - выпало четное число очков.
Ответ: независимы.
2. Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или независимы события: - выпадение “герба” на первой монете; - выпадение хотя бы одной “решетки”.
Ответ: зависимы.
3. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечетно ?
Ответ: 2/3.
4. В ящике лежат красных, зеленых и синих шаров. Наудачу вынимается два шара. Какова вероятность, что извлечены шары разного цвета, если известно, что не извлечен синий шар ?
Ответ: 48/95.
5. В одном ящике белых и красных шаров, в другом ящике белых и красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет извлечен один белый шар, если из каждого ящика извлечено по одному шару.
Ответ: 7/9.
6. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна . Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены ?
Ответ: (0,95)3=0,857375.
7. В ящике красных и синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными ?
Ответ: 0,5.
8. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным , либо , либо тому и другому одновременно.
Ответ: 0,6.
9. Студент пришел на зачет, зная из вопросов только . Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос ?
Ответ: 28/29.
10. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике белых и черный шар, во втором - белый и черных шара. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность, что извлеченный шар окажется белым ?
Ответ: 13/30.
11. В цехе работают станков. Из них марки , марки и марки . Вероятность того, что качество деталей окажется отличным, для этих станков соответственно равна: , и . Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом ?
Ответ: 83%.
12. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он тащит билет первым или последним ?
Ответ: безразлично.
13. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит %, вторая - %, третья - % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно %, % и %.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный ?
б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной ?
Ответ: а) 0,0345; б) 125/345, 140/345, 80/345.