11

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формулы Бейеса.

1. Теоремы сложения вероятностей.

Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

.

Пример 1. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви -го размера, равна , -го - , -го или большего - . Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее -го размера.

Решение . Искомое событие произойдет, если будет продана пара обуви -го размера (событие ), или -го (событие ) или не менее -го (событие ), т. е. событие есть сумма событий , , . События , и несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

.

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше -го размера.

Решение. События “очередной будет продана пара обуви меньше -го размера” и “будет продана пара обуви размера не меньше -го” - противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность искомого события равна

,

поскольку , как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что хорошо видно на следующем примере. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью . Какова вероятность того, что из трех посеянных семян взойдет какое-либо одно (безразлично какое)? Через , , обозначим события, состоящие в том, что взойдут соответственно первое, второе, третье семена. Если для отыскания искомой вероятности мы применим теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим . Вероятность события оказалась больше единицы. Абсурдность ответа объясняется тем, что события , , являются совместными. Действительно, если произошло, например, событие (взошло первое семя), то это не исключает того, что произойдет и событие (взойдет второе семя).

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

.

2. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Различают зависимые и независимые события. Два события называется независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не связанные между собой, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления “герба” в первом испытании (событие ) не зависит от появления или непоявления “герба” во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления герба во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и - независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой комбинации остальных. События называются зависимыми, если одно из них изменяет вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события , называется условной вероятностью события и обозначается через .

Условие независимости события от события записывают в виде , а условие зависимости - в виде. Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся резцов - два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим через извлечение изношенного резца в первом случае, а через - извлечение нового. Тогда , . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим. Обозначим через событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

, .

Следовательно, вероятность события зависит от того, произошло или нет событие .