3. Практическая часть.

   1. Задание 1. Парная регрессия и корреляция в эконометрическом моделировании

Для изучения зависимости оборота розничной торговли от уровня денежных доходов на душу населения по субъектам Приволжского федерального округа необходимо выполнить задание, состоящее из следующих этапов:

• определение формы связи,

• оценка параметров уравнений и показателей тесноты связи,

• оценка качества уравнений по средней ошибке аппроксимации, статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции по F – критерию Фишера,

• прогнозирование результативного признака в виде доверительного интервала при увеличении факторного признака на 10% (или другое возможное значение).

Исходные данные

Субъекты федерации	Среднедушевые денежные доходы на душу населения, тыс. руб.	Оборот розничной торговли на душу населения, тыс. руб.
1. Республика Башкортостан	15,0	9,4
2. Республика Мариэл	8,4	4,3
3. Республика Мордовия	10,0	5,6
4. Республика Татарстан	14,9	9,0
5. Удмуртская республика	12,1	6,6
6. Чувашская республика	9,2	5,3
7. Кировская область	11,1	7,0
8. Нижегородская область	13,0	7,2
9. Оренбургская область	12,9	6,1
10.Пензенская область	9,2	5,8
11 Пермская область	18,9	10,6
12.Самарская область	23,5	20,4
] 3.Саратовская область	12,8	7,6
14 Ульяновская область	11,2	7,2

Решение

Для определения формы связи построим корреляционное поле, где по оси абсцисс в определенном масштабе отложены значения факторного признака, а по оси ординат – результативного:

Определим параметры уравнений по трем формам связи: линейной, степенной и гиперболической.

Для расчета параметров «а» и «b» линейной регрессии у = а + bּх необходимо решить систему нормальных уравнений относительно «а» и «b» :

nּa + bּ∑x = ∑у,

аּ∑х + bּ∑х² = ∑уּх

По исходным данным определим значения ∑у, ∑х, ∑уּх, ∑х², ∑у², σ² (табл. 1)

Таблица 1 – Расчет показателей для оценки параметров модели парной линейной регрессии

№ п/п	y	x	yx	x2	y2	ŷx	| уi - ŷх |	|уi-ŷx| уi	(уi –ŷх)2	(уi–)2
1	9,4	15	141	225	88,36	9,8	0,4	0,043	0,16	1,9321
2	4,3	8,4	36,12	70,56	18,49	3,9	0,4	0,093	0,16	13,7641
3	5,6	10	56	100	31,36	5,3	0,3	0,054	0,09	5,8081
4	9	14,9	134,1	222,01	81	9,7	0,7	0,078	0,49	0,9801
5	6,6	12,1	79,86	146,41	43,56	7,2	0,6	0,091	0,36	1,9881
6	5,3	9,2	48,76	84,64	28,09	4,6	0,7	0,132	0,49	7,3441
7	7	11,1	77,7	123,21	49	6,3	0,7	0,1	0,49	1,0201
8	7,2	13	93,6	169	51,84	8	0,8	0,111	0,64	0,6561
9	6,1	12,9	78,69	166,41	37,21	7,9	1,8	0,295	3,24	3,6481
10	5,8	9,2	53,36	84,64	33,64	4,6	1,2	0,207	1,44	4,8841
11	10,6	18,9	200,34	357,21	112,36	13,3	2,7	0,255	7,29	6,7081
12	20,4	23,5	479,4	552,25	416,16	17,4	3	0,147	9	153,5121
13	7,6	12,8	97,28	163,84	57,76	7,8	0,2	0,026	0,04	0,1681
14	7,2	11,2	80,64	125,44	51,84	6,4	0,8	0,111	0,64	0,6561
Итого	112,1	182,2	1656,85	2590,62	1100,67	112,2	14,3	1,743	24,53	203,07
Среднее	8,01	13,01	118,35	185,04	78,62	x	x	x	x	x
σ2	14,4599	15,7799	x	x	x	x	x	x	x	x
σ	3,8	3,97	x	x	x	x	x	x	x	x

Параметры «а» и «b» рассчитаем по формулам:

,

.

Таким образом, уравнение линейной регрессии .

Для построения степенной модели у = аּх^b необходимо сначала провести процедуру линеаризации переменных путем логарифмирования обеих частей этого уравнения:

lg y = lg a + bּlg x,

У = С + bּХ,

где У = lg y , X = lg x , C = lg a

Расчеты представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Расчет показателей для оценки параметров модели степенной регрессии

№№ по п/п	У	Х	УХ	У2	Х2	ŷх	|уi – ŷх|	(уi – ŷх)2	|уi – ŷх| ───── уi
1	0,973	1,176	1,1442	0,9467	1,383	9,2	0,2	0,04	0,021
2	0,633	0,924	0,5849	0,4007	0,8538	4,7	0,4	0,16	0,093
3	0,748	1	0,748	0,5595	1	5,8	0,2	0,04	0,036
4	0,954	1,173	1,119	0,9101	1,3759	9,1	0,1	0,01	0,011
5	0,82	1,083	0,8881	0,6724	1,1729	7,2	0,6	0,36	0,091
6	0,724	0,964	0,6979	0,5242	0,9293	5,2	0,1	0,01	0,019
7	0,845	1,045	0,883	0,714	1,092	6,5	0,5	0,25	0,071
8	0,857	1,114	0,9547	0,7344	1,241	7,8	0,6	0,36	0,083
9	0,785	1,111	0,8721	0,6162	1,2343	7,7	1,6	2,56	0,262
10	0,763	0,964	0,7355	0,5822	0,9293	5,2	0,6	0,36	0,103
11	1,025	1,276	1,3079	1,0506	1,6282	12	1,4	1,96	0,132
12	1,31	1,371	1,796	1,7161	1,8796	15,5	4,9	24,01	0,24
13	0,881	1,107	0,9753	0,7762	1,2254	7,7	0,1	0,01	0,013
14	0,857	1,049	0,899	0,7344	1,1004	6,6	0,6	0,36	0,083
Итого	12,175	15,357	13,6056	10,9377	17,0451	110,2	11,9	30,49	1,258
Среднее	0,87	1,097	0,9718	0,7813	1,2175	х	х	х	х
σ2	0,027	0,015	х	х	х	х	х	х	х
σ	0,164	0,124	х	х	х	х	х	х	х

Определяем значения параметров С и b:

,

Линейное уравнение примет вид: .

Выполнив его потенцирование, получим: .

Уравнение равносторонней гиперболы у = а + bлинеаризуется при замене:Z = , тогда у = а +bּZ.

Расчеты представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Расчет показателей для оценки параметров модели равносторонней гиперболы

№№ по п/п	У	Z	УZ	Z2	У2	ŷх	|уi – ŷх|	(уi – ŷх)2	|уi – ŷх| ───── уi
1	9,4	0,0667	0,62698	0,0044489	88,36	10,5	1,1	1,21	0,117
2	4,3	0,119	0,5117	0,014161	18,49	2,5	1,8	3,24	0,419
3	5,6	0,1	0,56	0,01	31,36	5,4	0,2	0,04	0,036
4	9	0,0671	0,6039	0,0045024	81	10,4	1,4	1,96	0,156
5	6,6	0,0826	0,54516	0,0068228	43,56	8	1,4	1,96	0,212
6	5,3	0,1087	0,57611	0,0118157	28,09	4,1	1,2	1,44	0,226
7	7	0,0901	0,6307	0,008118	49	6,9	0,1	0,01	0,014
8	7,2	0,0769	0,55368	0,0059136	51,84	8,9	1,7	2,89	0,236
9	6,1	0,0775	0,47275	0,0060063	37,21	8,8	2,7	7,29	0,443
10	5,8	0,1087	0,63046	0,0118157	33,64	4,1	1,7	2,89	0,293
11	10,6	0,0529	0,56074	0,0027984	112,36	12,6	2	4	0,189
12	20,4	0,0426	0,86904	0,0018148	416,16	14,2	6,2	38,44	0,304
13	7,6	0,0781	0,59356	0,0060996	57,76	8,7	1,1	1,21	0,145
14	7,2	0,0893	0,64296	0,0079745	51,84	7	0,2	0,04	0,028
Итого	112,1	1,1602	8,37774	0,1022916	1100,67	112,1	22,8	66,62	2,818
Среднее	8,01	0,0829	0,59841	0,0073065	78,62	х	х	х	х
σ2	14,4599	0,00043	х	х	х	х	х	х	х
σ	3,8	0,0208	х	х	х	х	х	х	х

Определим значения параметров регрессии а и b:

,

Уравнение регрессии: .

Определим тесноту связи для каждой формы зависимости:

1. линейный коэффициент парной корреляции:

;

2. индекс корреляции для степенной модели:

;

3. индекс корреляции для гиперболической модели:

.

Рассчитаем значения коэффициента детерминации:

R² = r_ху² и R² =ρ_ху² .

1. линейная модель: R² = 0,876, или 87,6%;

2. степенная модель: R² = 0,852, или 85,2%;

3. гиперболическая модель: R² = 0,672, или 67,2%.

Определим величину средней ошибки аппроксимации:

1. линейная модель: ;

2. степенная модель: ;

3. гиперболическая модель: .

Проверим значимость моделей регрессии с помощью F-критерия Фишера.

Определим фактическое значение F-критерия:

1. линейная модель: ;

2. степенная модель: ;

3. гиперболическая модель: .

Определим табличное значение F-критерия при уровне значимости α=0,05 и для числа степеней свободы ν₁= m=1 и ν₂=n-m-1=12: F_табл=4,75. Рассчитанные значения F-критерия больше критического для всех моделей, следовательно, построенные модели парной регрессии можно считать статистически значимыми.

Сравнивая величину показателей тесноты связи, статистическую значимость уравнений регрессии и показателей тесноты связи, размер средней ошибки аппроксимации по различным моделям можно сделать вывод о том, что наиболее качественным является уравнение линейной регрессии .

Оценим статистическую значимость линейного коэффициента регрессии b.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н₀: b=0, т.е. коэффициент регрессии не значим.

Определяем фактическое значение t-критерия:

,

где .

S(b) =0,1,t_b = .

Табличное значение t-критерия для заданного уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы ν=n-2=12: t_табл=2,18.

Поскольку, t_табл < t_расч, то нулевая гипотеза отвергается и с вероятностью 0,95 можно сделать вывод о статистической значимости линейного коэффициента регрессии b.

Оценим статистическую значимость коэффициента корреляции r_xy.

Рассчитаем наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента:

t_набл=.

Табличное значение t-критерия для заданного уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы ν=n-2=12: t_табл=2,18.

Поскольку t_набл > t_крит, то нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается. Таким образом, между среднедушевыми доходами населения и оборотом розничной торговли на душу населения существует сильная подтвержденная статистическая взаимосвязь.

Построим точечный прогноз при увеличении среднего значения факторного признака на 10%:

х_р=1,1=1,1*13,01=14,3 тыс.руб.

= 9,2 тыс.руб.

Точечный прогноз дополним расчетом стандартной ошибки

= 1,5.

Доверительный интервал для:

-≤≤+

где при ν=n-2=12 при уровне значимости α=0,05 равно 2,18.

Таким образом:

9,2 - 2,18*1,5≤ ≤ 9,2 + 2,18*1,5,

5,9 ≤≤ 12,5 тыс.руб.

2. Задание 2. «Моделирование одномерных временных рядов»

Необходимо решить комплекс вопросов в определенной последовательности для аддитивной модели:

1. выявление структуры ряда;

2. выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

3. определение сезонной компоненты;

4. устранение сезонной компоненты из исходных уравнений;

5. аналитическое выравнивание уровней и расчет значений трендовой составляющей (для выполнения задания использовать линейную форму тренда и расчет параметров уравнения способом от условного нуля);

6. оценка качества модели при помощи абсолютных и относительных ошибок;

7. прогнозирование значений уровня ряда на ближайшую перспективу (3 года или 3 квартала);

8. комментарии экономического содержания расчетов.

Исходные данные:

Динамика цен по всем группам товаров по Пермскому краю в 2005 году

Месяц	Индекс цен, %
Январь	101,78
Февраль	100,99
Март	101,42
Апрель	101,15
Май	101,16
Июнь	100,57
Июль	100,55
Август	100,04
Сентябрь	100,14
Октябрь	100,45
Ноябрь	100,50
Декабрь	101,23