Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Опір матеріалів Частина 4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

743.45 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

M y

z .

(8.2)

M z

J y

Максимальних

значень

нормальні

напруження досягають в точках, найбільш

віддалених від нейтральної лінії

M y

(8.3)

max

M z

Умова міцності

max M z

M y

або

M y

(8.4)

z 1

При

підборі

розмірів

перерізів

використовують вираз

рис.8.2.

M y

(8.5)

M z

причому відношення Wz

задається наперед.

Приклад 8.1. Для консолі (рис.8.3) з умови міцності підібрати прямокутний переріз з

відношенням

2 , якщо 10 кН см2 .

Розкладаємо

силу

на

складові

Fy F cos 17.4 кН ,

Fz F sin 10 кН .

q 10kH м

вертикальній

площині

виникає

22,4 kH м

момент

M z

(від сил Fy

і q ),

а в

1м

горизонтальній площині – момент

M z

(від

сили

F ). Епюри цих

M y

моментів

показані

на

рисунку.

Оскільки

небезпечній

точці

10 kH м

балки

верти-кальний

момент

F 20 kH

M z 22.4

кН м

більший

від

горизонтального

M y 10 кН м ,

то

більшу

сторону

прямокутника

доцільно

розташувати

рис.8.3

вертикально.

Тоді

Wy b 2 .

Із

формули

(8.5)

22.4 100 кН см

Для

заданого

прямокутного

10 кН см2

424 см

22.4

- 61 -

перерізу W

b h2

b3 . Отже,

b3 424 см3 . Звідси b 8.6

см , h 2 b 17.2 см .

8.3 Позацентровий розтяг (стиск) стержня великої жорсткості.

Позацентровий розтяг (стиск) зумовлений навантаженням,

рівнодійна якого F , що

паралельна до осі x , прикладена в точці з координатами zF

, yF (рис. 8.4 а). У цьому випадку

в перерізах

стержня

виникає

поздовжня сила

N F

та

згинальні

моменти

M z F yF

, M y F zF . Нормальне напруження в точці

B z , y перерізу дорівнює

y , z

M y

M z y

yF y

J y

(8.6)

де i2

J y

, i2

- квадрати радіусів інерції перерізу.

M y

M z

нейтральна

лінія

а)

рис.8.4

б)

При позацентровому розтягу у формулі (8.6) залишають знак “ + “, а при стиску “ – “.

У випадку, коли позацентрова сила

F проходить через одну з головних центральних

осей, наприклад через вісь z , то yF 0 і формула (8.6) набирає вигляду

(8.7)

Лінію, на якій нормальні напруження дорівнюють нулю, називають нейтральною лінією. Це – пряма лінія, що відсікає на осях y , z відрізки (рис. 8.4 б):

- 62 -

ay yF zF . (8.8)

Взалежності від координат yF , zF точки прикладання сили F , нейтральна лінія може, az yz

проходити поза перерізом, дотикатися до нього або перетинати його. В останньому випадку в перерізі виникають як розтягуючі, так і стискуючі напруження. Найбільші значення напружень виникають у точках, які найбільш віддалені від нейтральної лінії.

Для позацентрово стиснутих стержнів, виготовлених з крихких матеріалів, небажана поява в точках перерізу розтягуючих напружень, оскільки в цьому випадку можливе виникнення тріщин. Для того, щоб цих напружень не було, позацентрову силу потрібно намагатися прикладати в межах ядра перерізу. Ядро перерізу – це область навколо центра ваги перерізу, яка характерна тим, що всяка позацентрово прикладена в ній сила породжує по всьому перерізі напруження того самого знаку, що і прикладена сила. Координати точок контура ядра перерізу визначаються з умов

iy2

(8.9)

де ay , az - відстані, що

відтинаються нейтральною лінією

на

осях

y , z ,

коли

ця лінія

дотикається до контура поперечного перерізу стержня.

Умови міцності:

а) для матеріалу, що неоднаково працює на розтяг і стиск

max p

max

ст

;

ст

б) для матеріалу, в якого р ст

max

де p

, ст

- допустимі напруження на розтяг і

стиск.

Приклад

8.2.

Для

позацентрово

стиснутого

силою

F 10000 кН

стержня

прямокутного

поперечного

перерізу

(рис.

8.5)

розмірами

h 60 см

yF z

b 40см ,

h 60 см

(координати

точки

b 40см

	нейтральна
	лінія
C
az	y
ay
	F
z	B
z
рис.8.5

прикладання		сили zF 8см, yF 10см )		знайти
положення нейтральної лінії,			визначити max p і
max ст	та	перевірити	міцність,	якщо

16 кН см2 .

Квадрати радіусів інерції перерізу:

b h3

300см2 ,

J y

hb3

133,3см2 .

A 12 b h

A 12

b h

Відрізки

300

30см,

iy2

133,3

16.7 см .

100

Нейтральна лінія показана на рисунку. Найбільші

- 63 -

розтягуючі напруження виникатимуть в точці C , а стискуючі – в точці B :

max		F					y		F	y	z	z	10000				8 20				10 30		5.0		кН
					1				F	C		F C			1												,
					1				i2			i2	40 60		1										см2		,
	p		A						i2			i2	40 60					133.3			300				см2
										z		y
				F				yF yB				zF zB		10000					8 20	10 30				кН
max						1										1						13.3				.
max						1				i2		i2		40 60		1				300		13.3		см2		.
	ст			A						i2		i2		40 60				133.3		300				см2
										z		y

Перевірка міцності: max 13.3 кНсм2 . Міцність забезпечена.

8.4 Сумісний згин з крученням.

Сумісний згин з крученням має місце, коли в стержні

одночасно виникають

згинальний

M зг і

крутний

M k

зг

моменти. З наявністю цих моментів пов’язані напруження

зг , k .

Матеріал

стержня

перебуває

плоскому

напруженому стані (рис. 8.6 а) з головними напруженнями

зг

k2 .

зг

max

Умови міцності:

зг max

а) за III теорією

III

4 2

(8.10.1)

екв

зг

б) за IV теорією

3 2

(8.10.2)

екв

зг

б)

У випадку стержня з круглим (кільцевим) перерізом

перевірка

міцності

здійснюється

небезпечній

точці

(рис. 8.6 б), де

рис. 8.6

M зг

, W 2W .

зг

max

1м

(8.11)

Умови міцності (8.10) набирають вигляду

екв

M екв

F 50kH

0,4 м

(8.12)

	A
50	20
C	B

M зг

	A
20	20
C	B

M кр

де M екв - еквівалентні (розрахункові) моменти за вибраною теорією міцності:

MеквIII M зг2 Mk2 , MеквIV M зг2 0,75Mk2 . (8.13)

Приклад 8.3 Для стержня з ламаною віссю (рис. 8.7) круглого поперечного перерізу з діаметром d 15 см перевірити міцність за III теорією,

якщо 16 кНсм2 .

Епюри M зг , M k показані на рисунку.

рис. 8.7 A

- 64 -

Небезпечним перерізом є переріз в точці C , де M зг 50						кН м , Mk 20 кН м .
Розрахунковий момент за III теорією

		M	екв	502	202 53.9	кН м .
			екв
Напруження III	M еквIII	53.9 100 кН см			15.97 кН см2 .
Напруження III					15.97 кН см2 .
екв	0.1d 3	0.1 153		см3
	0.1d 3	0.1 153		см3

Міцність забезпечена.

8.5 Плоскі статично визначені рами.

Рамами називаються стержневі системи, окремі стержні яких з’єднані між собою жорстко (рис. 8.8 а). Якщо осі стержнів рами і навантаження на раму лежать в одній площині, що є головною площиною поперечних перерізів стержнів, раму називають плоскою.

	F		M
		B	M	M x 0
A		B
A
	x
	a			Q x 0
				Q x 0
			b
				N x 0
		C
		a)		б)	в)
			F a		F
					F
			F
	M F a

	M			Q	N

г)	д)	е)
г)
	рис. 8.8

При навантаженні плоскої рами в її поперечних перерізах виникають згинальні моменти ( M ), повздовжні ( N ) та поперечні ( Q ) сили. Для визначення цих величин у довільному перерізі

використовують ті самі правила, що приймались для балок (при визначенні M x і Q x ) і для розтягу-стиску стержнів (при визначення N x ) (рис. 8.8 б). Для встановлення знаку

згинального моменту M x проводять з однієї сторони кожного стержня рами пунктирну лінію (рис. 8.8 б) і вважають додатними ті моменти, що зумовлюють розтяг сторони стержня з боку пунктирної лінії (знак моменту не має надалі жодного значення, оскільки на епюрі M x він не проставляється, а епюра відкладається зі сторони розтягнутих волокон). Вирази для

- 65 -

внутрішніх сил у рамі, що показана на рис. 8.8 а, мають вигляд:

AB 0 x a M x F x; Q x F ; N x 0, BC 0 x b M x M F a ; Q x 0; N x F .

Епюри внутрішніх сил показані на рис. 8.8 г, д, е. В поперечних перерізах рами виникають нормальні і дотичні напруження. Останніми, при розрахунках рам на міцність, найчастіше нехтують. Нормальні напруження

M y

(8.14)

J z

Умова міцності

(8.15)

max

де N , M - значення поздовжньої сили та згинального моменту у небезпечному перерізі рами.

Приклад 8.4 Для рами, що зображена на рис. 8.9 а, побудувати епюри силових факторів, підібрати і перевірити на міцність круглий переріз, якщо 10 кНсм2 .

y	q 20kH м		10	30
	q 20kH м		10	30
C		D			10 10

1м		x
1м		2 м
H A	x	2 м
H A	x
x	A
	A	3 м	30			10
						10

	RA
		x		N			Q
				N			Q
		F 10kH
		B			10		10
		RB
		a)		б)			в)
					рис. 8.9

Реакції в опорах:

X 0 H A F 0 ; H A 10 кН

M A 0 RB 2 F 2 q 2 1 0 ; RB 10 кН

Y 0 RA RB q 2 0 ; RA 30 кН

Вирази для внутрішніх сил на ділянках рами (рис. 8.9 а)

		AC	0 x 1 м
	N x RA 30 кН ;
		Q x H A 10 кН ;
		Q x H A 10 кН ;
M x H A x 10 x ,


		M 0	0; M 1 10 кН м
		M 0	0; M 1 10 кН м

	BD 0 x 3 м
	N x RB 10 кН	;
	Q x F 10 кН	;
	Q x F 10 кН	;
	M x F x 10 x ,
	M 0 0 ; M 3 30 кН м
	M 0 0 ; M 3 30 кН м

x 0,5 м

32,5

г)

- 66 -

	DC 0 x 2 м
		N F 10 кН ;
	Q x RB q x 10 20 x
	Q x RB q x 10 20 x
	Q 0 10 кН ; Q 2 30 кН ;
	Q 0 10 кН ; Q 2 30 кН ;
			q x2
M x R x F 3			q x2	10 x 30 10 x2	,
M x R x F 3				10 x 30 10 x2	,
	B	2
		2
	M 0 30 кН м ; M 2 10 кН м
	M 0 30 кН м ; M 2 10 кН м

Екстремум:
	d M	20 x 10 0	x 0.5 м ,	M 0.5 32.5 кН м .
	d x

За цими даними побудовані епюри N , Q , M (рис. 8.9 б, в, г).

Підбір розмірів перерізу здійснюється з умови (8.15), без врахування напруження N NA ,

тобто

умови

M max

. В

даному випадку

32.5 кН м .

Тоді

max

M max

32.5 100 кН см

325 см3 .

Для круглого перерізу

W 0.1d 3 .

Отже,

10 кН см2

0.1d 3 325 ;

d 14.8

см . Приймаємо d 15 см .

Перевірка міцності здійснюється в небезпечному перерізі, де M x 32.5 кН м , N 10 кН . Умова міцності (8.14) приводить до результату

	10 4 кН	32.5 100 кН см	9.62 кН см2	10 кН см2 .
max
	3.14 152 см2	0.1 153 см3

Міцність забезпечена.

8.6 Криві стержні.

Поряд з прямими стержнями в деяких інженерних конструкціях зустрічаються криволінійні стержні. Осі цих стержнів – плоскі криві. Вважатимемо, що переріз стержня сталий та симетричний відносно площини осі стержня і навантаження лежить в цій площині. Радіус кривизни стержня R вважатимемо сталим.

В поперечних перерізах плоских кривих стержнів виникають: повздовжня сила N , поперечна сила Q , згинальний момент M . Вони визначаються за наступними правилами (рис.

		1	y
		1
y
	h	C	y	y1
		y0	y	z
		y0		z
		R		y2
	C			y2
	C		2
			2
x

б)

рис. 8.10

8.10 а):

Повздовжня сила N у довільному перерізі рівна сумі проекцій на вісь x (що дотична до осі стержня) сил, які розміщені з однієї сторони від перерізу. Сили, які діють від перерізу (на розтяг) вважаються додатними. Поперечна сила Q рівна сумі проекцій на

вісь y (що перпендикулярна до осі x

стержня) сил, які розміщені з однієї сторони від перерізу. Правила знаків для сили Q - як і для балки.

Згинальний момент M рівний сумі

- 67 -

моментів лівих або правих сил відносно центра “ C “ перерізу. Моменти прийнято вважати додатними, якщо вони збільшують кривизну стержня. В залежності від відношення радіуса кривизни осі стержня R до висоти перерізу h криві стержні діляться на:

а) стержні малої кривизни, для яких Rh 5 ;

б) стержні великої кривизни, для яких Rh 5 .

Напруження в поперечних перерізах кривих стержнів малої кривизни обчислюють за формулами для прямих стержнів

M y

Q Sz

(8.16)

J z

b J z

Для стержнів великої кривизни напруження N

обчислюють за формулами

(8.16).

Напруження M визначають за формулою

M y

(8.17)

R0 y

де (рис. 8.10 б) :

R0 - радіус

кривизни

нейтрального шару

волокон (які при

згині не

деформуються);

- координата точки, в якій визначають напруження відносно нейтральної

осі z ;

S A y0

- статичний момент площі перерізу відносно осі

z ;

- координата центра

перерізу відносно нейтральної осі z .

формули

(8.17) видно,

що

напруження

змінюється

по

висоті перерізу за

криволінійним законом. Екстремальні значення напруження досягає в крайніх точках перерізу

“I” і “II” (рис. 8.11 а)

, II

yII

(8.18)

RII

max

C 0

yII

R I

min

R II

a)	б)	в)
	рис. 8.11

- 68 -

де yI , yII - координати точок “I” і “II” відносно осі z ; RI , RII - радіуси кривизни крайніх волокон.

Епюра M для стержня великої кривизни показана на рис. 8.11 б. Для порівняння, на рис. 8.11в показана епюра M для стержня малої кривизни. Відмінність між епюрами очевидна

і ця відмінність збільшується при зростанні кривизни стержня.

Формулою (8.17) можна скористатись тоді, коли відомий радіус кривизни нейтрального шару R0 . Тоді координата центра y0 R R0 . Цей радіус визначається із формули

(8.19)

d A

де - радіус кривизни довільного шару.

Для конкретних форм перерізів вираз (8.19) проінтегрований і отримано аналітичні

вирази для визначення R0

для прямокутного перерізу з розмірами b h : R0

;

(8.20)

RII

для круглого перерізу з діаметром d : R0

d 2

(8.21)

2 R

4 R2 d 2

Приклад 8.5.

Кривий стержень (рис. 8.12

а)

має

прямокутний переріз з

розмірами

b 4

см , h 8

см . Радіус осі стержня R 20 см . Побудувати епюри N , Q , M та визначити у

небезпечному перерізі N , max M , min M .

F 40kH

M 20kH м

34,8

17 7

R 0,2 м

в)

г)

б)

рис. 8.12

Вирази для внутрішніх сил:		0 60
	AB	0 60
	N F sin 40 sin ;	N 0 0 ,	N 60 34.8 кН
	Q F cos 40 cos ;	Q 0 40 ,	Q 60 20 кН
	Q F cos 40 cos ;	Q 0 40 ,	Q 60 20 кН
	M F R sin 8 sin ;	M 0 0 ,	M 60 7 кН м

- 69 -

BC 60 90

N F sin 40 sin ;

N 60 34.8 кН ,

N 90 40 кН

Q F cos 40 cos

; Q 60 20

кН , Q 90 0 кН

M F R sin M 8 sin 10 ;

60 17 кН м , M 90 18 кН м

Епюри N ,

Q , M показані на рис. 8.12 б, в, г.

Небезпечним

перерізом

є переріз

т.

C ,

де

N 40 кН , M 18 кН м .

Напруження

кН

1.25

кН

4 8 см2

см2

Оскільки відношення

2.5 5 ,

то заданий стержень є стержнем великої кривизни.

Напруження max

I ,

min

(рис. 8.11 а) визначаються за формулами (8.18).

Радіус кривизни нейтрального шару

для стержня прямокутного перерізу визначається за

формулою (8.20).

19.75 см .

1.5

RII

Тоді

y0 R R0

20 19.75 0.25 см ,

S A y

8 4 0.25 8 см3 .

Координати точок:

4.25

см

yII

3.75

см .

Напруження:

100

кН

см

4.25

см

39.84

кН

см3

см

см2

max

yII

100

кН

см

3.75 см

52.73

кН

см3

см

см2

min

IX. Енергетичні способи визначення переміщень та розрахунок статично невизначних рам.

9.1. Інтеграли Мора.

Як відомо з теоретичної механіки, для систем, що перебувають у рівновазі, справедливий

принцип можливих переміщень, згідно з яким:

якщо система перебуває у рівновазі під дією прикладених до неї сил, то робота цих сил на будь-якому можливому безмежно малому переміщенні системи з положення рівноваги дорівнює нулеві.

Використовуючи цей принцип для визначення переміщень у пружних системах, отримуємо формули інтегралів Мора для визначення переміщень від повздовжніх сил, згинальних і крутильних моментів. Вони мають вигляд:

l	N	N
а) переміщення від повздовжньої сили N : 1F	F	1	dx		;	(9.1)
	E	A
0
	l	M F M1
б) переміщення від згинального моменту M : 1F					dx ;	(9.2)
		E J		z
	0

- 70 -

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019123.48 Кб4ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СЕКЦИОННЫХ ЖИЛЫХ ДОМАХ СРЕДНЕЙ...docx
#
19.09.20194.01 Mб9ООП.doc
#
06.02.2016619.04 Кб112Опір матеріалів Частина 1.pdf
#
06.02.2016678.28 Кб66Опір матеріалів Частина 2.pdf
#
06.02.2016622.52 Кб46Опір матеріалів Частина 3.pdf
#
06.02.2016743.45 Кб57Опір матеріалів Частина 4.pdf
#
06.02.2016999.58 Кб50Опір матеріалів Частина 5.pdf
#
05.02.201622.4 Кб40Опис карти.docx
#
14.11.201890.4 Кб6ОПР - РГР - РГР_ все.docx
#
14.09.2019969.73 Кб6Орг-ц__я лекц__ї.doc
#
05.02.2016540.54 Кб15Організація Біда.docx