Опір матеріалів Частина 4

Поворот в точці В відбувається в напрямку, протилежному до напрямку одиничного моменту

M1 .

9.2. Способи обчислення інтегралів Мора.

Визначати переміщення систем (стержнів) можна як шляхом безпосереднього інтегрування інтегралів Мора (див. п. 9.1), так і без його інтегрування, використавши спосіб Верещагіна або

спосіб Сімпсона-Карнаухова.

Спосіб Верещагіна – це графоаналітичний спосіб, який ґрунтується на тому факті, що вирази для N1 , M1 , M k1 в інтегралах Мора (9.1) – (9.3) – це лінійні функції. Згідно з цим

де - площа епюри відповідної внутрішньої сили від заданого навантаження;

yc - ордината на епюрі від відповідного одиничного навантаження, що взята під центром епюри від заданого навантаження. Вибір виду одиничного навантаження такий самий, як і в

- 72 -

інтегралів Мора (9.1) – (9.3). При згині ця формула має вигляд (рис. 9.2)

Приклад 9.2. Для показаної на рис. 9.3 а рами визначити: а) вертикальне переміщення точки A ; б) кут повороту в точці B , зумовлений згинальними моментами M F . Матеріал рами –

а) Визначення вертикального переміщення в точці A .

1.Будуємо епюру згинальних моментів M F від заданого навантаження (рис. 9.3 б).

2.В точці A , в напрямку шуканого вертикального переміщення, прикладаємо одиничну силу (рис. 9.2 в).

3.Будуємо епюру M1 від одиничної сили (рис. 9.3 г).

4.За формулою (9.5) обчислюємо вертикальне переміщення

Точка A переміститься вверх (знак “ – “) на 21.5 см .

- 73 -

б) Визначення кута повороту в точці B .

В точці B прикладаємо одиничний момент (рис. 9.3 д) і будуємо епюру M1 від цього моменту (рис. 9.3 е). За формулою (9.5) отримуємо

Поворот у точці B буде за ходом стрілки годинника (у напрямку моменту M1 ).

Приклад 9.3. Способом Сімпсона-Карнаухова визначити прогин вільного кінця консолі (рис.

Підставляємо знайдені значення у формулу (9.7):

Точка переміститься вверх (знак “ – “) на 6 см .

9.3 Розрахунок статично невизначних плоских рам методом сил.

Статично невизначною називається система, внутрішні сили в елементах якої неможливо визначити лише за допомогою рівнянь статики. В системі є ніби зайві зв’язки, в яких виникають зайві невідомі. Кількість цих невідомих рівна ступеню статичної невизначності системи і дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю незалежних рівнянь статики. Для визначення зайвих невідомих потрібно скласти додаткові рівняння. Існує декілька методів складання цих рівнянь. Одним з них є метод сил, коли зайві невідомі визначаються з рівнянь переміщень.

Послідовність розрахунку статично-невизначних систем.

1.Встановлюють ступінь статичної невизначності, тобто кількість зайвих зв’язків або зусиль.

2.Вибирають для заданої системи основну систему. Основна система – це та статично визначна, геометрично незмінна система, що одержується із заданої шляхом відкидання зайвих зв’язків. Для заданої системи можна вибрати декілька варіантів основних систем.

Основну систему завантажують заданим навантаженням і зайвими невідомими X1 , X 2 , ... , що замінюють дію відкинутих зайвих зв’язків.

3.Записують рівняння переміщень, прирівнявши до нуля переміщення точок основної

-74 -

визначають переміщення i j і iF . Коефіцієнти i j j i .

5.Підставляють коефіцієнти в рівняння переміщень (9.8), (9.9) і визначають зайві невідомі

X i .

6.Знаходять значення згинальних моментів в характерних точках рами, використавши формулу

x M1 X1 M2 X 2 ... M F . (9.10)

x для заданої рами.

рис. 9.5

- 75 -

рис. 9.5

1.В рамі 4 опорні зв’язки (три в точці A і один в точці B ), отже 4 невідомі опорні реакції. Для їх визначення можна скласти три рівняння статики. Отже, рама один раз статично невизначна, має один зайвий зв’язок, в якому виникає одна зайва невідома X1 .

2.Відкинувши один зв’язок, вибирають основну систему (рис. 9.5 б).

3.Канонічне рівняння для визначення X1 : 11 X1 1F 0 .

4. Способом Верещагіна визначають коефіцієнти 11 і 1F . Епюри M1 (від X 1 1) і M F (від заданого навантаження q ) показані на рис. 9.5 в, г. Тоді

E J z 11 12 2 2 23 2 2 3 2 443 ;

E J z 1F 13 40 2 43 2 40 3 2 8403 ;

(в останньому виразі враховано, що площа показаних на рис. 9.5 г параболи 13 b h , а

відстань центра від вершини параболи рівна 43 b , де b , h - ширина і висота параболи).

5. Канонічне рівняння набирає вигляду

Епюри Q x і N , що побудовані за цими виразами, показані на рис. 9.4 ж, з.

- 76 -

Приклад 9.5. Для статично невизначної рами (рис. 9.6 а) побудувати епюру M x .

2

1.Кількість опорних зв’язків – 5. Кількість рівнянь статики – 3. Рама два рази статично невизначна і є дві зайві невідомі X1 , X 2 .

2.Вибрана для розрахунку основна система показана на рис. 9.6 б.

-77 -

3. Система канонічних рівнянь

4.Епюри M1 (від одиничної сили X 1 1), M 2 (від сили X 2 1) і M F (від заданого навантаження M , F ) показані на рис. 9.6 в, г, д. Тоді:

E J z 11 12 12 1 23 12 12 23 3 23 23 12 2 2 23 2 5.0 ;

E J z 12 E J z 2 1 12 43 1 23 12 12 43 3 23 23 1.0 ;

E J z 22 12 1 43 1 23 43 12 3 43 23 43 0.75 ;

E J z 1F 50 2 12 2 12 337.5 23 23 12 1 12.5 23 12 158.3 ;

EJ z 2 F 12 1 12.5 23 43 12 3 37.5 23 43 25.0 .

5.Система канонічних рівнянь має вигляд

5 X1 X 2 158.3 0X1 0.75 X 2 25.0 0

6.Епюри M1 X1 і M 2 X 2 показані на рис. 9.6 е, ж. Епюра M x , що побудована за формулою M x M1 X1 M2 X2 MF , приведена на рис. 9.6 з.

9.4. Багатопрольотні нерозрізні балки.

- 78 -

де 'n , 'n' - лівий і правий кути повороту над n - ою опорою. Рівнянь трьох моментів можна

складати стільки, скільки раз задача статично невизначна. При складанні рівнянь опори і довжини прольотів нумерують: опори прийнято нумерувати зліва направо, позначивши крайню ліву опору індексом “ 0 “ (рис.9.7 б). Номер прольоту визначається номером правої для цього прольоту опори. Якщо якийсь край балки защемлений, то защемлення зображують (рис. 9.7 г) у виді поставлених близько одна від одної шарнірних опор (відстань l 0 ). Для того, щоб з

- 79 -