Лаб_електрика_№4_2010

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГІЙ ТА ДИЗАЙНУ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ для студентів всіх спеціальностей

ЕЛЕКТРИКА

4

ЗАТВЕРЖЕНО на засіданні кафедри фізики

протокол № ___ від «___» ___________ 2010 р.

КИЇВ КНУТД 2010

2

УДК 51.(07) О-62

Методичні вказівки до лабораторних робіт для студентів всіх спеціальностей. / Горбачук М.Т., Потапов А.О., Щербина О.І.: - Київ: КНУТД, 2010. – 54 с. Укр. мовою.

3

ПЕРЕДМОВА

Фізичний практикум має на меті дати можливість студенту самому спостерігати основні фізичні явища, навчитись використовувати вимірювальні прилади, познайомитись з найважливішими методами вимірювань. Важливо отримати і закріпити навики ведення лабораторного протоколу, побудови графіків, оцінки достовірності отриманих результатів.

Для виконання лабораторної роботи студенту потрібно ознайомитись з описанням роботи, теорією фізичних явищ, які в ній вивчаються, експериментальною установкою. Теорія майбутньої лабораторної роботи вивчається за підручниками, конспектом лекцій, методичними вказівками.

При підготовці до лабораторної роботи в зошиті для лабораторних робіт складається протокол згідно інструкцій в методичних вказівках. До нього слід записати короткі теоретичні відомості про суть фізичного явища, що вивчається, основні розрахункові формули для вимірюваних фізичних величин та їх похибок, побудувати таблиці для запису вимірюваних величин, накреслити принципову схему установки.

Виконавши всі необхідні вимірювання і записавши їх до протоколу їх потрібно показати викладачу для перевірки. Бажано зробити контрольний розрахунок по одному з отриманих наборів експериментальних даних.

До наступного заняття результати вимірювань потрібно обробити згідно методичних вказівок: побудувати графіки, виконати обчислення шуканих величин і їх похибки, правильно округлити і записати остаточні результати. Потрібно опрацювати теоретичний матеріал і, для самоконтролю, відповісти на контрольні запитання.

4

1. ІНСТРУКЦІЇ З ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

1.1 Вимірювання фізичних величин і оцінка похибок вимірювання 1.1.1 Основні поняття

Фізичною величиною називається властивість, однакова в якісному відношенні для багатьох фізичних об’єктів, але різна в кількісному відношенні. Наприклад, напруга – властивість, яку мають всі джерела електричної енергії, але значення напруги конкретного джерела може бути характерним тільки для нього. Вимірювання – це знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів із заданим рівнем достовірності.. Виміряти фізичну величину – означає визначити, скільки разів в ній вміщується однорідна величина, прийнята за одиницю міри. Наприклад, виміряти довжину якогось об’єкту означає визначити скільки мір довжини – метрів, потрібно щоб отримати довжину вимірюваного об’єкту. Таким чином, результатом вимірювання є іменоване число.

Фізичні вимірювання можна розділити на прямі і посередні (непрямі). Прямими називаються вимірювання фізичних величин, які проводяться шляхом прямого порівняння вимірюваної величини і її міри чи шкали приладу, наприклад вимірюючи довжину предмету лінійкою. Непрямими називаються вимірювання фізичних величин, які є результатом перерахунку значень інших величин, отриманих прямими вимірюваннями. Наприклад, можна визначити об'єм циліндра вимірявши штангенциркулем його діаметр і висоту і провівши відповідні обчислення.

Провести вимірювання фізичних величин точно неможливо, оскільки кожне вимірювання має свою похибку – різницю між істинним значенням фізичної величини і результатом її вимірювання. За характером появи похибки вимірювання поділяються на випадкові, систематичні і промахи.

Випадкові похибки - це похибки, що непередбачувано змінюють свою величину та знак при повторних вимірах. Так довжину предмета можна вимірювати поклавши на нього лінійку і дивлячись на шкалу лінійки під різними кутами. Якщо шкалу нанесено на верхній поверхні лінійки, то при вимірюванні виникне похибка. Пряма, що сполучає око спостерігача і поділку на шкалі лінійки, що відповідає істинному розміру тіла, співпадатиме з краєм тіла тільки тоді, коли вона перпендикулярна до поверхні лінійки. В противному разі виникне похибка, пропорційна товщині лінійки. Виключити всі випадкові похибки принципово неможливо. Але, якщо в результатах вимірювання є повторюваність, то за результат вимірювання можна прийняти середнє арифметичне значення кількох послідовних вимірів, для якого випадкові похибки в значній мірі компенсуються.

Систематичні похибки - похибки, які зберігають в процесі вимірювання свою величину і знак, або змінюються за відомим законом. Вони найчастіше пов'язані з похибками приладів, методикою вимірювання і обмеженістю математичної моделі явища, коли не враховуються в повній мірі його характеристики. Наприклад, помилки при градуюванні шкали приладу,

5

вимірювання приладами за граничними межами умов їх застосування та інше. Систематичні похибки можна виявити замінивши вимірювану величину еталоном, вимірявши одну і ту ж величину більш точним приладом чи використавши більш точні методи вимірювання. Виявлена систематична похибка може бути виключена з результату вимірювання (корекція похибок), але не повністю, оскільки більш точний прилад має свої систематичні похибки.

Оцінюючи характер випадкових і систематичних похибок можна зробити висновок: при наявності випадкових похибок результат вимірювання коливається біля істинного значення вимірюваної величини, а при систематичній похибці — біля значення, зміщеного на величину систематичної похибки від істинного.

Промахами є результатом грубих порушень умов вимірів, невірних записів результатів вимірів чи інших причин, що приводять до результатів вимірів, які різко випадають з всього ряду вимірів. Такі результати повинні бути виключені з розгляду до кінцевої обробки результатів вимірювання.

За джерелом виникнення похибок їх поділяють на методичні та інструментальні. Методичні похибки зумовлені, як було сказано вище, недосконалістю методики вимірювання і обмеженістю математичної моделі явища, що не враховує в повній мірі всі його характеристики. Інструментальні похибки - похибки приладів, обумовлені неточністю їх градуювання, вимірюваннями за граничними межами умов застосування приладів і т. д.

За характером представлення похибок їх поділяють на «абсолютні», які визначаються різницею між виміряним Х (оцінкою істинного) і істинним Х0 значенням ∆X = X − X 0 , «відносні», які правильніше називати «приведеними»,

тому що вони визначаються відношенням ∆X X N , де ХN – нормоване значення.

В якості нормованого значення використовують: оцінку істинного (номінального) значення, кінцеве значення шкали, якщо нульова відмітка знаходиться на кінці шкали, ширина діапазону вимірюваних значень та інше, що встановлюється відповідними нормативними документами (ДСТУ, нормалі та інш.).

Основною характеристикою вимірювання є точність, яка є мірою близькості виміряної величини до істинної, оцінюється числом, що дорівнює оберненому значенню відносної похибки, визначеною в долях вимірюваної величини і характеризується такими показниками:

-інтервал, в якому похибка вимірювання знаходиться з заданою імовірністю;

-інтервал, в якому систематична складова похибки вимірювання знаходиться з заданою імовірністю;

-числові характеристики систематичної складової похибки вимірювання;

-числові характеристики випадкової складової похибки вимірювання;

-функція розподілу (густина імовірності) систематичної складової похибки вимірювання;

-функція розподілу (густина імовірності) випадкової складової похибки вимірювання.

6

Практично в залежності від мети і вимог до точності вимірювання визначаються всі, або частина наведених вище показників точності. Точність вимірювання можна виразити вказавши, наприклад, результат вимірювання, і інтервал в якому знаходиться похибка вимірювання з заданою точністю:

U = (12,3В ± 0,4) В; P = 0,95. Цей запис означає, що результат вимірювання напруги рівний 12,3В, похибка знаходиться в інтервалі [12,3 −0,4;12,3 +0,4] В з імовірністю 95%.

1.1.2Обробка результатів прямих вимірювань

Вході виконання лабораторних робіт будуть проводитись вимірювання, метою яких буде визначення значень фізичних величин, або вивчення взаємозв’язку між фізичними величинами.

Впершому випадку необхідно провести задану викладачем кількість вимірювань фізичної величини з метою перевірки відтворюваності результату вимірювання. Відтворюваність результату вимірювання засвідчує існування істинного значення, яке є, як правило, центром розподілу виміряних значень. Оскільки в ході вимірювань при виконанні лабораторних робіт випадкова похибка досить часто більша за систематичну, то найбільш близьким до істинного значення фізичної величини x буде середнє арифметичне x . Якщо результати вимірювань фізичної величини позначити xi , i = 1, …, n , то x

можна розрахувати за формулою

Відхилення результату одного з вимірювань xi від середнього арифметичного x можна охарактеризувати абсолютною похибкою вимірювання ∆xi = xi − x , або

відносною похибкою вимірювання δxi = ∆xi xi . Випадкова похибка кожного вимірювання, яка більша за систематичну, приводить до того, що кожне з xi з

однаковою імовірністю може бути як більшим, так і меншим за x . Складаючи xi при обчисленні x зменшуємо вплив випадкової похибки на x і чим більшою

є кількість вимірювань, тим меншою є різницю між x і істинним значенням фізичної величини x . Це положення можна проілюструвати графічно. Припустимо, що зроблено багато вимірів фізичної величини xi . Побудуємо

графік (див. рис. 1.1.2.1), по осі абсцис якого ми відкладено результати вимірювань, а по осі ординат – кількість вимірювань, які попали в інтервал [x −∆x, x + ∆x], розділену на загальну кількість вимірювань (тут ∆x - деяка безкінечно мала величина). В курсі теорії ймовірностей було показано, що випадку коли випадкова похибка обумовлена дією великої кількості незалежних чинників, то отриманий графік є нормальним розподілом (або розподілом Гауса):

7

Наслідком математичних властивостей нормального розподілу є твердження, що інтервал [x −σx ; x +σx ] включатиме 68% всіх проведених вимірювань,

інтервал [x −2σx : x + 2σx ] - 95% всіх вимірювань а інтервал [x −3σx ; x +3σx ] - 99,7% всіх вимірювань. Тобто розрахувавши σx - середньоквадратичне відхилення

можна визначити інтервал, в якому знаходиться результат вимірювань з потрібною ймовірністю. Цим способом можна було б скористатися якби кількість вимірювань була більше сотні, але при виконанні лабораторних робіт на виконання такого об’єму вимірювань і розрахунків було б витрачено невиправдано багато часу.

Рис. 1.1.2.1.

Тому для оцінки похибки вимірювань спочатку розраховується середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного

а потім розраховується довірчий інтервал по формулі

∆x = tn,P σx ,

де tn,P - коефіцієнт Ст’юдента, для заданої кількості вимірювань n і ймовірності

P . Зауважимо, що при збільшенні кількості вимірів розподіл Ст’юдента прямує до нормального розподілу.

Приклад 1. Припустимо, ми провели вимірювання висоти циліндра h штангенциркулем. Результати вимірювань (які позначимо hi , i =1,...,6): 24,2 мм;

24,1 мм; 24,0 мм; 24,2 мм; 24,1 мм; 24,1 мм.

1. Розрахуємо середнє арифметичне (найбільш імовірне) значення h :

=24,12 мм

2.Розрахуємо абсолютну похибку окремих вимірювань ∆hi = hi −h і її квадрат. Для зручності результати розрахунків запишемо в таблицю.

9

Похибку непрямих вимірювань ∆y можна розрахувати по загальній диференційній формулі:

Відносну похибку непрямих вимірювань можна розрахувати по формулі:

Таким чином, якщо формула для розрахунків (функція y = f (a1 ,a2 ...,an )) має

вигляд добутку, степеня, дробу, кореня, то зручніше розраховувати відносну похибку.

Приклад 2. Розрахувати об’єм циліндру і похибку його вимірювання, за умови що його діаметр d рівний (12,2 мм ±0,2) мм; P=0,95; висота h рівна (24,5

± 0,2) мм; Р=0,95.

1.Розрахуємо об’єм циліндра, підставивши результати прямих вимірювань в відому формулу для розрахунку об’єму циліндра:

2.Розрахуємо часткові похідні функції V (d,h) для обчислення ∆V , підставивши в формули значення висоти циліндра і його діаметру:

3. Розрахуємо похибку визначення об’єму циліндра:

=96,72 мм3

4.Запишемо результат обчислень у вигляді V = (2,86 ±0,10) 103 мм3; Р=0,95.

Вприкладі 2 формула для розрахунку V досить проста, тому розрахунок похибки ∆V не дуже складний. Однак, для порівняння, при розрахунку відносної похибки δV замість п. 2 - 4 потрібно зробити:

2. Визначимо ln(V ):

10

=0,041мм-1

4.Розрахуємо відносну похибку δV :

=0,0338

5.Знайдемо ∆V :

∆V =V δV = 2862,57 0,0338 = 96,72 мм3

6. Запишемо результат обчислень у вигляді V = (2,86 ±0,10) 103 мм3; Р=0,95. Як видно, в другому випадку обчислення простіші і, за умови що

формула для розрахунку фізичної величини непрямим методом логарифмується, розрахунок відносної похибки є простішим для складніших формул розрахунку.

1.1.4 Метод найменших квадратів

Одним із завдань лабораторних робіт є дослідження взаємозв’язку між фізичними величинами. Для оцінки достовірності виявленого взаємозв’язку (відповідності-кореляції) між фізичними величинами використовують відповідні методи кореляційного аналізу, серед яких важливе місце займає метод «найменших квадратів». Варто відмітити, що метод «найменших квадратів» дає «ефективний» результат, якщо розподіл виміряних значень може бути описаний «нормальним» законом і виявлений взаємозв’язок між фізичними величинами близький до лінійного, тобто між ними має місце лінійна кореляція. Тому передумовою використання методу «найменших квадратів» є лінеаризація виявлених експериментальних залежностей.

Якщо, як було припущено вище, в наших вимірюваннях домінує випадкова похибка, то виміряна експериментальна точка може опинитися вище чи нижче від очікуваного значення лінії кореляції і при нормальному розподілі похибок вимірювання отримати кореляційну пряму можна мінімізуючи суму квадратів відхилень від неї до експериментальних точок. В противному разі потрібно використовувати методи нелінійної кореляції.

Розглянемо процедуру методу найменших квадратів. Припустимо, що

За результатами експерименту маємо n пар виміряних величин (yi , xi ).

Необхідно визначити коефіцієнти b і a , так щоб була мінімізована величина, яка є сумою квадратів різниць (нев'язок) очікуваних значень y за рівнянням

(1.1.4.1) і виміряних yі :