7 Інтерпретація результатів факторного експерименту

7.1 Графічна (просторова) інтерпритація ортогональних планів 1 порядку

7.2 Аналітична інтерпретація побудованої моделі

Інтерпретація моделі - це опис впливу факторів на параметр оптимізації (відгук) у, при цьому величина коефіцієнту регресії - кількісна міра цього впливу, а знак коефіцієнта характеризує напрям зміни фактора при пошуку экстремуму критерію оптимізації.

Інтерпретацію можна розглядати в аналітичному та графічному аспектах.

Внаслідок проведення серії дослідів за планом повного факторного експерименту або дробової репліки отримують рівняння регресії або поліноміальну модель. Якщо отримана модель виявляється адекватною експериментальним даним, то її можна використати для прогнозування значення відгуку при будь-яких значеннях факторів, що знаходяться між верхнім та нижнім рівнями.

Наприклад: Рівняння регресії У=20–5Х₁–2Х₂ отримано за результатами дослідів при варіюванні Х₁ від 300 до 400 °С, а Х₂ від 4 до 8 °С/хв. Розрахуємо, наприклад, у при проміжному значенні Х₁, що дорівнює 320 °С, і Х₂ = 5,4 °С/хв. Для цього необхідно значення факторів перевести в кодову форму за формулою (2.4):

Підставляючи Х₁ та Х₂ в рівняння регресії отримуємо значення виходу продукту для вибраних умов:

у=20–5  (–0,6)– 2 0,5=22.

За допомогою формули (2.4) рівняння регресії можна привести до натурального виду:

Характерно, що це рівняння дає ті ж результати, що й рівняння У=20–5Х₁–2Х₂, тобто Q=61–0,1320–7=22

Таким чином, коефіцієнти регресії в лінійній моделі дають уявлення про те, на скільки зміниться значення відгуку, якщо фактор змінити на величину одного інтервалу варіювання. Потрібно зазначити, що більший за абсолютною величиною коефіцієнт перед фактором Х₁ ще не дає підстав стверджувати, що його вплив на відгук вагоміший за вплив фактора Х₂, коефіцієнт перед яким менше, адже одиниці варіювання факторів несумірні між собою.

7.3 Графічна інтерпретація моделей у загальному випадку лінійна модель виду

являє собою гіперплощину в (k + 1)–мірному факторному просторі, що виключає можливість зорового сприйняття відповідного геометричного образу крім випадку, коли k=2, який ілюструється на рис.2.3. У всіх випадках гіперплощина проходить через точку у = b₀. Коефіцієнти регресії при лінійних членах характеризують нахил цієї гіперплощини до відповідних вісей.

Рис. 2.3 Гіперплощина відгуку У=20–5Х₁–2Х₂ в (к+1)–мірному факторному просторі при к=2.

Точки 1, 2, 3 і 4 відповідають координатам дослідів при постановці повного факторного експерименту типу 2². З цих точок проведені прямі, паралельні осі у, і на них відкладені відрізки, що дорівнюють значенню відгуків у відповідному досліді. Як видно з рисунку, вільний член b₀ в лінійному рівнянні регресії чисельно рівний значенню відгуку при х₁=х₂=0.

Якщо розсікти площину ABCD (рис.2.4) будь-якою площиною, перпендикулярною вісі у, то в перетині площин отримаємо пряму, кожній точці якій відповідає одне й те ж значення відгуку. Якщо площину ABCD розітнути площинами, перпендикулярними осі у та розташованими на однаковій відстані одна від одної, а потім всі отримані при цьому лінії перетину спроектувати на площину х_1Ох₂, то отримаємо множину прямих рівної величини у.

Зробимо описану процедуру з моделлю, виражену рівнянням (11), яка характеризує вихід продукту в залежності від кінцевої температури дистиляції та швидкості нагріву. Можна отримати безліч варіантів графічної інтерпретації лінійного рівняння при k = 2, аналогічних рис. 5 відповідає одному й тому ж значенню виходу продукту. Кожній точці прямій відповідають координати х₁ та х₂, які визначають можливі умови отримання заданого вибраною точкою виходу.

Рис. 2.4 Графічна інтерпретація рівняння У=20–5Х₁–2Х₂.

Спосіб інтерпретації лінійної моделі, показаний на рис. 5, є досить зручним. По-перше, з графіка відразу видно, що для підвищення виходу продукту необхідно по можливості знижувати кінцеву температуру дистиляції й швидкість нагріву. По-друге, паралельно кодовим осям дуже легко провести Рис.2.5 Графічна інтерпретація рівняння

вісі натуральні змінних, оскільки завжди відомо, якому натуральному значенню фактора відповідають кодові координати -1, 0 та+1

За результатами факторного експерименту можна отримати неповне квадратне рівняння, в якому крім коефіцієнтів

а – при b_ij =+1; б – при b_ij=–1

при лінійних членах можуть бути значущими коефіцієнти при парних взаємодіях факторів типу х_ix_j. При значущій взаємодії факторів ефект кожного з них залежить від того, на якому рівні знаходиться інший взаємодіючий фактор. Пояснимо це на прикладі.

Нехай в рівнянні (11), що отримано за результатами експеримента типу 2², коефіцієнт Ь^ виявився значущим, рівним 1. Тогда рівняння мало б вид:

(19)

а вихід продукту в кожному досліді мав би значення, наведені в табл. 11.

Зіставляючи криві графіків на рис. 6, можна зробити висновок про те, що в загальному випадку наявність позитивної взаємодії двох факторів означає посилення позитивного ефекту одного з взаємодіючих факторів при переході другого взаємодіючого фактора з нижнього на верхній рівень незалежно від знаку й величини коефіцієнту регресії другого фактора.