Лекции 18 ИСИТ функц. нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Лекция 18. Дифференциальное исчисление функции

нескольких переменных и его приложения.

План лекции

18.1. Определение и основные свойства функций нескольких переменных.

18.2. Частные производные первого и второго порядков функции двух переменных.

18.3. Полный дифференциал. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

18.4. Производная сложной функции.

18.5. Экстремум функции.

18.1

Понятие функции от одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Например, площадь прямоугольника зависит от длины и от ширины ( - пример функции двух переменных), температура, измеряемая в некоторой точке пространства, есть функция от координат этой точки в некоторый момент времени ( – функция четырёх переменных) и т.д. Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных. Так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных можно наблюдать уже у функции двух переменных, то ограничимся рассмотрением именно этих функций.

Если некоторым парам значений переменных величин ставится в соответствие по некоторому правилу или закону определенное значение переменной , то говорят, что задана функция двух переменных и , и обозначают или .

Пару значений можно рассматривать, как точку на плоскости, поэтому можно говорить, что есть функция точки .

Областью определения функции двух переменных называется множество пар значений , которое может принимать данная функция.

Например, для функции областью определения является вся плоскость , т.е. . Функция определена, если или , т.е. её областью определения является круг радиуса c центром в начале координат, включая и границу.

Областью значений функции двух переменных называется множество всех значений, принимаемых переменной в области определения.

Функции двух переменных допускает и графическую иллюстрацию.

Графиком функции , определенный в области плоскости называется множество точек пространства, у которых пара , а .

В наиболее простых случаях график функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность. Из-за сложности построения графиков функций двух переменных форму о них можно получить с помощью линий уровня, которые представляют собой множество точек плоскости для которых функция принимает некоторое постоянное значение, т.е. . Придавая различные значения, получаем семейство линий уровня, которые помогают представить форму поверхности, являющуюся графиком функции двух переменных. Линиями уровня, например, обозначают высоту гор, глубину морей, распределение среднесуточной температуры, распределение полезных ископаемых в почве и.т.д.

Функции трёх и большего числа переменных не допускают графической интерпретации. Однако для функции трёх переменных ещё возможно по аналогии с функцией двух переменных построить поверхности уровня, которые задаются уравнениями , т.е. представляют собой множество точек пространства, в которых функция принимает постоянные значения.

Областью, или открытой областью, называется множество точек плоскости, обладающих свойствами:

1) каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки (свойство открытости);

2) всякие две точки плоскости можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности) (непрерывная линия – множество точек плоскости, координаты которых заданы как непрерывные функции ).

Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки ей не принадлежащие. Множество всех граничных точек области называются ее границей.

Множество всех точек , лежащих внутри круга с центром в точке и радиуса , называют - окрестностью точки , т.е. это точки удовлетворяющие неравенствам , или .

Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если , что для всех точек из области определения функции отвечающих условию выполняется условие . Обозначают .

Пусть функция определена в некоторой области и пусть . Придадим приращение , а приращение , причем сделаем это так, чтобы . Обозначим разность и назовем ее полным приращением функции в точке .

По аналогии с функциями одной переменной определим непрерывность функции нескольких переменных следующим образом.

Функция называется непрерывной в точке , если ее полное приращение при и , т.е. или .

Арифметические операции над непрерывными в точке функциями приводят к непрерывным в той же точке функциям.

18.2.

Частной производной функции 2-х переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными. Обозначается . Таким образом, если , то частные производные определяются следующим образом:

, если эти пределы существуют.

Из определения следует, что правила вычисления частных производных остаются теми же, что и для функции одной переменной, только требуется каждый раз помнить по какой переменной берется производная.

Пример.

Частные производные функций нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние частные производные являются частными производными второго порядка.

Для функции можно определить 4 частные производные 2-го порядка:

и отличаются порядком дифференцирования и называются смешанными частными производными второго порядка.

Для непрерывных функций смешанные производные равны: .

Пример.

18.3.

Полное приращение функции z = f(x,y)

(1)

Предположим, что в рассматриваемой точке (х,у) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные.

Выразим через частные производные. Для этого прибавим и вычтем :

(2)

Выражение можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного у (значение х остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:

=, где (3)

Выражение можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного х (второй аргумент сохраняет одно и то же значение ). Тогда , где (4).

Таким образом, (5).

Так как по предположению, частные производные непрерывны, то

, (6)

Так как , , то при и и стремятся соответственно к х и у.

По определению предела равенства (6) можно переписать в виде:

где величины и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда )

Тогда .

Сумма последних слагаемых правой части является бесконечно малой величиной высшего порядка относительно . Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное, относительно и .

При и это выражение представляет собой главную часть приращения, отличаясь от на бесконечно малую величину высшего порядка относительно

Определение. Функция z = f(x,y), полное приращение которой в данной точке (х,у) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения линейного относительно и и величины бесконечно малой высшего порядка относительно и называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается dz или df. Т.е. . Равенство () можно переписать в виде , и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно можно написать следующее приближенное равенство . Приращения независимых переменных и будем называть дифференциалами независимых переменных х и у и обозначать через dx и dy. Тогда выражение полного дифференциала примет вид . Таким образом функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке (х,у) и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

Пример. Найти полный дифференциал и полное приращение функции z = f(x,y) в точке (2;3) при =0,1 и =0,2

Решение.

Следовательно,

dz = 3 * 0,1 + 2,02 = 0,7

Полным приращением функции z = f(x,y) в точке M(x,y) называется , где - произвольное приращение аргументов.

Функция z = f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где . Дифференциалом функции

z = f(x,y) называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов , т.е. .

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. и .

Полный дифференциал выражается по формуле .

Пример. .

При достаточно малом для дифференцируемой функции z = f(x,y) справедливы приближенные равенства .

Дифференциалом второго порядка от функции z = f(x,y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. . Аналогично .

Если х и у – независимые переменные и z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные, то Вообще - которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке (х,у). Найдем полные приращения этой функции откуда т.к. , где .

Подставляя, получаем формулу для приближенных вычислений:

18.4.

Предположим, что в уравнении (1)

u и v являются функциями независимых переменных х и у:

(2)

В этом случае z есть сложная функция х и у:

(3)

Предположим, что функции , , имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Найдем и исходя из уравнений (1) и (2).

Дадим аргументу х приращение сохраняя значение у неизменным.

Тогда, в силу уравнения (2), и получают приращения и .

Но если и получают приращения и , то функция получит приращение :

Разделим на

Если , то и в силу непрерывности функций и .

Но тогда и тоже . Переходя к пределу при получим: .

Пример. .

18.5.

Будем понимать под окрестностью точки плоскости внутренность любого прямоугольника, содержащего эту точку.

О. Говорят, что функция z = f(x,y) имеет в точке максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для всех точек М(х,у) из этой окрестности и отличных от выполняется неравенство

Теорема. (необходимое условие существование экстремума) Если функция z = f(x,y) имеет в точке экстремум, то частные производные функции в этой точке равны 0, т.е. , .

Теорема. (достаточное условие существование экстремума). Пусть функция f(x,y) непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой окрестности точки , удовлетворяет условиям , . Обозначим

А = , В = , С = и

через .

Тогда:

1) если D>0, то в точке функция имеет экстремум, при А<0 - максимум, при А>0 – минимум.

2) Если D<0, то в точке , функция f(x,y) экстремума не имеет.

3) Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Пример.

Вычисляем частные производные первого порядка

,

Согласно необходимого условия экстремума приравниваем частные производные первого порядка к нулю

отсюда

, - критические точки.

Вычисляем частные производные второго порядка и составляем определитель

Для

- экстремума нет.

Для

и т.к. А = 6 > 0, то в точке - минимум.

Покажем, как применяется исследование функции двух переменных на экстремум в обосновании важного метода, применяемого в математике – метода наименьших квадратов.

В естествознании приходится пользоваться эмпирическими формулами, составленными на основе опыта и наблюдений. Один из методов получения таких формул – это способ наименьших квадратов.

Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами х и у (например интенсивностью дождя и его продолжительностью). Производим соответствующие измерения (например n измерений) и результаты измерений вводим в таблицу:

х	х1	х2	х3	…	хn
у	у1	у2	у3	…	уn

Будем рассматривать х и у как прямоугольные координаты точек на плоскости.

Предположим, что точки группируются вдоль некоторой прямой, тогда между х и у существует линейная зависимость, т.е.